Лекция двадцатая

Как было показано выше, для диаграммы R матричный элемент М равен

а для диаграммы 5 (см. упражнение в предыдущей лекции) -

Полный матричный элемент является суммой этих двух матричных элементов. Поэтому для сечения рассеяния имеем

Задача теперь состоит в конкретном вычислении матричных элементов операторов R и S. Рассмотрим сначала оператор R. Воспользовавшись тождеством

преобразуем оператор R к виду

При упрощении знаменателя R мы воспользовались следующими соотношениями:

Матричные элементы между состояниями частиц с различными спинами и для (различных поляризаций фотонов можно теперь вычислить, исходя непосредственно из выражения для R. Однако мы сначала произведем некоторые предварительные преобразования, упрощающие вычисления. Воспользовавшись тождеством

легко показать, что

Так как у вектора отлична от нуля лишь четвертая, временная, компонента, а у вектора — первые три, пространственные, компоненты, то Учитывая, что получаем

Таким образом, первое слагаемое в матричном элементе оператора R сокращается с последним (так как они разного знака). Поэтому R можно заменить эквивалентным оператором

В точности такие же преобразования показывают, что оператор S эквивалентен оператору

Подставляя в эти выражения и умножая на для суммы этих операторов получаем

Эту сумму можно также записать в иной, несколько более удобной форме, если учесть, что матрицы антикоммутируют между собой (т. е. )

Таким образом, имеем

Используя эту форму записи для суммы операторов, можно легко вычислить матричные элементы.

В качестве примера рассмотрим случай такой поляризации, когда для падающего фотона а для рассеянного Этот случай соответствует переходу фотона из состояния А в состояние В (см. предыдущую лекцию) и будет обозначаться через (АВ). Так как при этом то

Раскрывая это выражение и используя коммутационные соотношения для матриц у, получаем

Матричный элемент этого оператора в случае, когда спин падающего электрона направлен вверх а рассеянного — вниз легко находится с помощью табл. 3. Имеем

Заметим, что, так как в рассматриваемом случае электрон 1 покоится, . Поэтому окончательно для полного матричного элемента в случае перехода (АВ) и при условии получаем выражение

Совершенно аналогичным образом получаются матричные элементы и для других комбинаций поляризаций и спинов (см. табл. 4). В качестве упражнения можно проверить эти формулы.

Для получения амплитуды рассеяния при заданной поляризации фотонов следует просуммировать квадраты матричных элементов по всем спиновым состояниям рассеянного электрона и усреднить по спиновым состояниям падающего электрона.

Таблица 4

(см. скан)

Можно показать, что в результате этого получится просто квадрат отличного от нуля матричного элемента перехода при заданной поляризации фотонов. Например, в случае перехода (АА) имеем

Используя соотношения

и

после несложных алгебраических преобразований амплитуду рассеяния Сведем к виду, приведенному в табл. 5, где даны также значения и для других

Таблица 5

поляризаций. Легко видеть, что все четыре выражения, приведенные в табл. 5, можно записать единым образом:

Заметим, что эти формулы не пригодны для описания рассеяния фотонов, поляризованных по кругу.

Так, например, если то для правильного учета эффекта интерференции фотонов, возникающего из-за наличия мнимой части у все вычисления следует провести заново вплоть до возведения матричных элементов в квадрат.

Наконец, для сечения рассеяния плоскополяризованных фотонов получаем формулу

Это и есть известная формула Клейна—Нишины для сечения рассеяния поляризованного света. Для неполяризованного света это выражение необходимо усреднить по всем поляризациям.

Следует заметить, что вследствие общности преобразования функции к импульсному представлению в приведенном выводе учтены также диаграммы рассеяния, типа представленной на фиг. 22. Наш вывод учитывает все диаграммы рассеяния, за исключением эффектов высшего порядка, которые обсуждаются ниже (они соответствуют, например, излучению и последующему поглощению третьего фотона, как это представлено на фиг. 23).

Фиг. 22.

Фиг. 23.