ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ

Электрон, пролетающий через кулоновское поле ядра, претерпевает отклонение. Согласно классической теории, такое отклонение является следствием ускорения электрона и должно сопровождаться излучением. В соответствии же с квантовой электродинамикой это означает, что у падающего электрона в поле ядра имеется определенная вероятность перехода в новое состояние с испусканием фотона. Взаимодействие с полем ядра является совершенно необходимым для удовлетворения законов сохранения энергии и импульса В вакууме электрон не может испустить фотон и перейти в новое состояние. На фиг. 26 представлена диаграмма процесса и указаны углы разлета электрона и фотона.

Будем считать, что кулоновокий потенциал ядра участвует во взаимодействии лишь один раз (борновское приближение). Законность такого приближения обсуждалась в шестнадцатой лекции.

Фиг. 26.

Возможны два (неразличимых) пути, по которым может протекать явление тормозного излучения: а) сначала электрон взаимодействует с кулоновским полем ядра, а затем излучает фотон или б) электрон сначала излучает фотон и лишь затем взаимодействует с кулоновским полем ядра. Диаграммы этих процессов представлены на фиг. 27.

Фиг. 27.

В результате взаимодействия с ядром электрон получает импульс Q. Из законов сохранения энергии и импульса при этом имеем

В восемнадцатой лекции было показано, что вследствие независимости кулоновского потенциала от времени фурье-образ потенциала пропорционален . Это означает, что возможны лишь переходы, при которых , т. е. энергия начального электрона должна равняться сумме энергий фотона и конечного электрона . Вероятность перехода определяется выражением

Считая ядро бесконечно тяжелым, имеем

Заметим, что испускаемые фотоны образуют целый спектр, т. е. энергия фотона не определяется однозначно (как, например, это было при комптоновском рассеянии).

Полагая получаем

где первое слагаемое соответствует диаграмме взаимодействия а на фиг. 27, а второе — диаграмме взаимодействия на фиг. 27. Смысл каждого из множителей, например первого слагаемого, легко понять, читая его справа налево. Электрон, находящийся в начальном состоянии рассеивается на кулоновском потенциале ядра и получает дополнительный импульс Q, после чего он движется как свободная частица с импульсом до тех пор, пока не испустит фотон с поляризацией .

В системе координат, в которой ядро, покоится, для фурье-образа кулоновского потенциала имеем (см. восемнадцатую лекцию «Импульсное представление»)

[Для фурье-образа какого-либо другого потенциала по пространственным переменным будем пользоваться соответствующим обозначением ] Освободившись от операторов в знаменателе формулы (22.3), получим

Излучаемый фотон может иметь любое из двух направлений поляризации, а электрон в начальном и конечном состояниях — любую из двух возможных проекций спина. Матричные элементы для различных возможных переходов можно вычислить, воспользовавшись табл. 3, точно так же, как это было сделано в двадцатой лекции при выводе формулы Клейна—Нишины. Так как эти вычисления не содержат ничего нового, мы опустим их. После 1) суммирования по поляризациям фотона, 2) суммирования по конечным спиновым состояниям электрона и 3) усреднения по начальным спиновым состояниям электрона для дифференциального сечения тормозного излучения получим следующее выражение:

В пределе малых энергий испускаемого фотона (малых по сравнению с энергией покоя электрона, но больших по сравнению с энергией связи электрона в атоме) это выражение принимает простой вид, легко интерпретируемый с помощью сечения упругого рассеяния электрона в кулоновском поле. Запишем матрицу (22.3) через q (вместо ):

Используя соотношения и пренебрегая в числителе величиной q вследствие ее малости, находим

При получении этого выражения мы учли, что матричный элемент М вычисляется между состояниями свободного электрона их и и поэтому .

Дифференциальное сечение излучения фотона при этом можно записать в виде

Первый множитель в квадратных скобках представляет собой вероятность перехода при упругом рассеянии электрона (см. шестнадцатую лекцию). Поэтому второй множитель в квадратных скобках можно интерпретировать как вероятность излучения фотона в интервал частот и в телесный угол при упругом рассеянии электрона с изменением импульса на

Задача. Используя изложенный метод, вычислите сечение излучения двух фотонов малой энергии. Импульсами фотонов можно пренебречь в числителе, но не в знаменателе матричного элемента.

Ответ. В дифференциальном сечении излучения одного фотона, приведенном выше, возникает третий множитель, соответствующий вероятности излучения второго фотона.