ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ НЕСКОЛЬКИХ ЭЛЕКТРОНОВ

Лекция двадцать четвертая

Хотя уравнение Дирака описывает движение лишь одной частицы, следуя принципам квантовой электродинамики, мы можем получить амплитуду вероятности взаимодействия двух и более частиц (при условии, что ядерные силы можно не учитывать).

Рассмотрим сначала движение двух электронов через область действия внешнего потенциала и предположим, что они не взаимодействуют друг с другом фиг. 32).

Фиг. 32.

Амплитуду вероятности, характеризующую переход электрона а из точки 1 в точку 3, а электрона b из точки 2 в точку 4, обозначим через К (3,4; 1, 2). При условии полного отсутствия взаимодействия электронов между собой функцию К (3, 4; 1, 2) можно записать в виде произведения где характеризует движение электрона , а — движение электрона b.

В соответствии с принципом Паули возможно также движение и другого типа, экспериментально не отличимое от первого. Оно отличается от первого взаимной перестановкой частиц в точках 3 и 4 (см. фиг. 33).

Фиг. 33.

Согласно принципу Паули, волновая функция системы нескольких электронов при перестановке пространственных координат каких-либо двух частиц должна менять знак. Поэтому полная амплитуда вероятности перехода (описывающая оба указанных выше движения) дается выражением

Аналогичное положение имеет место и в следующем случае. Начальный электрон входит в область действия потенциала. Потенциал рождает электронно-позитронную пару. Наконец, из этой области выходят два электрона и один позитрон. В рассматриваемом случае также возможны два типа движения, представленные на фиг. 34. И опять полная амплитуда вероятности перехода есть разность амплитуд, соответствующих этим двум движениям.

Для получения вероятностей переходов как в рассмотренных выше случаях, так и в любых подобных, нужно взять квадраты модулей амплитуд вероятностей и умножить их на

Величина представляет собой вероятность того, что вакуум остается вакуумом. Вследствие возможности рождения и аннигиляции пар такая вероятность отлична от единицы.

Фиг. 34.

Величину можно вычислить, воспользовавшись табл. 6 для вероятностей рождения различного числа электронно-позитронных пар в вакууме. Именно можно определить, потребовав, чтобы сумма всех этих вероятностей равнялась единице (так как истинные процессы не должны зависеть от того, что происходит в вакууме). Величина зависит от внешнего потенциала, ибо «вероятности», взятые только как квадраты амплитуд (без множителя ), представляют собой относительные вероятности рождений различного числа пар в поле внешнего потенциала.

Таблица 6

Использование функции Ограничимся сначала рассмотрением амплитуды вероятности одного из возможных переходов (т. е. принципа Паули не будем учитывать). Амплитуды вероятности других переходов всегда можно получить из нее путем перестановки соответствующих пространственных координат и изменений знака. Полная же амплитуда вероятности перехода равна сумме всех полученных таким путем амплитуд.

В нерелятивистском борновском приближении для амплитуды вероятности перехода имеем

где, согласно изложенному в предыдущих лекциях,

а

Так как взаимодействие между частицами в нерелятивистском случае является мгновенным, то Потенциал взаимодействия является кулоновским и имеет вид

Вводя в качестве множителя функцию можно пользоваться независимыми переменными . В результате получим

где дифференциал включает как временную, так и пространственные переменные. Естественно было бы думать, что релятивистскую функцию распространения (амплитуду вероятности перехода) можно получить путем замены в нерелятивистском выражении на и учета запаздывающего потенциала взаимодействия путем замены о на в). Однако введение такой -функции не совсем верно.

Дело в том, что ее фурье-образ содержит как положительные, так и отрицательные частоты, в то время как энергия фотона всегда положительна. Действительно,

Чтобы исправить это, определим функцию

содержащую лишь положительные частоты в фурье-разложении. В результате интегрирования этого выражения получаем

Вводя сокращенные обозначения и учитывая, что возможны как так и запаздывающий потенциал взаимодействия запишем в виде

Упражнение. Покажите, что

Записав разность в релятивистски инвариантной форме как 6, для запаздывающего потенциала получим выражение . Наряду с этим необходимо учитывать также магнитное взаимодействие частиц, пропорциональное произведению — . В дираковских обозначениях это произведение записывается как — . Оказывается, удобно записать это выражение в эквивалентной форме — Запаздывающий потенциал в этих обозначениях пропорционален произведению

Матрицы возникают при использовании релятивистской функции распространения. В результате полный потенциал взаимодействия частиц принимает вид

а поправка первого порядка к нулевой функции распространения равна

Индексы у матриц и функций указывают, на какие переменные эти величины воздействуют.

Фиг. 35.

Взаимодействия, описываемые функцией распространения (24.1), можно представить в виде диаграммы на фиг. 35. Она описывает обмен виртуальным фотоном между двумя электронами. Виртуальный фотон может быть поляризован вдоль любой из осей . Тот факт, что функция распространения содержит скалярное произведение показывает, что по всем возможным поляризациям фотона производится суммирование.

Из интегрального выражения для функции распространения (24.1) следует, что амплитуда вероятности перехода фотона из точки 5 в точку 6 (или из 6 в 5 в зависимости от последовательности времен) равна . Формулу (24.1) можно рассматривать как еще одно выражение основных законов квантовой электродинамики.

Упражнение. Покажите, что

В импульсном представлении отсюда получаем