Лекция семнадцатая

ВЫЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ДЛЯ СВОБОДНОЙ ЧАСТИЦЫ

Как было показано в пятнадцатой лекции, функция распространения частицы при отсутствии внешних потенциалов и в стационарном случае, когда гамильтониан не зависит от времени, определяется выражением

Собственные функции в случае свободной частицы имеют вид

Поэтому сумма по энергиям превращается в интеграл по импульсу . Функция представляет собой спинор, соответствующий состоянию электронов с импульсом р, положительной или отрицательной энергией и заданной проекцией спина (либо + 1; либо —1). Учитывая это, функцию распространения для свободной частицы при запишем в виде

где . Множитель представляет собой плотность состояний частицы в единице пространственного объема, приходящуюся на единицу фазового объема.

Множитель обусловлен используемой нормировкой волновых функций, согласно которой или Спиноры в приведенном выражении соответствуют состояниям с положительной энергией. Для состояний с отрицательной энергией видоизменяя соответственно спиноры при получаем

По сливам

Вычислим сначала функцию распространения для случая Для этого найдем величину для состояний с положительной энергией, импульсом частицы , лежащим в плоскости и спином, направленным вверх . В этих условиях

Заметим, что в произведении ирар сомножители расположены в обратном порядке. В результате это произведение является матрицей, а не числом. В соответствии с правилами матричной алгебры получаем

Учитывая соотношение

окончательно находим

Совершенно аналогично для состояний со спином частицы, направленным вниз получаем

Можно показать, что сумма матриц ирир для состояний равна

При произвольном направлении импульса к этому выражению следует добавить член Таким образом, в общем случае имеем

Так как при получении этой формулы знак энергии не учитывался, она справедлива при любом знаке энергии.

Положим далее и . Для функция распространения принимает вид

Вследствие того, что переменная интегрирования содержится в экспоненте в виде этот интеграл не сводится к элементарным функциям. Заметим, что его можно записать также в следующем виде:

где

При такой форме записи вместо четырех интегралов приходится вычислять лишь один. В качестве упражнения можно проверить, что для получается аналогичный результат с той лишь разницей, что у t знак меняется на обратный. Поэтому, если в выражении для заменить t на оно станет пригодным для всех

Этот интеграл можно вычислить, и в результате получим

где для для — функция Дирака, а — функция Ханкеля. Приведем также несколько иное выражение для функции

Обе эти формы функции слишком сложны для практических применений. Ниже, однако, мы покажем, что переход к импульсному представлению приводит к существенным упрощениям.

Заметим, что функция не зависит от направления вектора , а зависит лишь от его величины На пространственно-временной диаграмме (фиг. 18) пространственная ось соответствует а диагональные линии образуют поверхность светового конуса, окружающего временную ось внутри этого конуса расположена область физически доступных значений — (временеподобная область).

Фиг. 18.

Можно показать, что при больших значениях s функция асимптотически стремится к Во временеподобной области большим значениям s соответствует Область, в которой справедливо асимптотическое приближение, лежит, грубо говоря, внутри узкого конуса (на фиг. 18 отмечен пунктиром) вокруг оси , причем

Предпоследнее выражение, по существу, совпадает с функцией распространения для свободной частицы, используемой в нерелятивистской теории. Если возможные «траектории» частицы не ограничивать временеподобной областью, как это делается в новой релятивистской теории, то существует также и другая область, в которой справедливо асимптотическое приближение функции

Эта область лежит внутри узкого конуса (на фиг. 18 отмечен пунктиром) вокруг оси причем большим значениям s соответствует . В этой области

Отсюда видно, что расстояние по оси на котором эта величина становится пренебрежимо малой, 1 порядка комптоновской длины волны частицы (напомним, что величина , когда она представляет обратную длину, заменяется на ), так что реально достижимые значения вне светового конуса не очень велики.

Перейдем теперь к импульсному представлению. Это легко сделать, если воспользоваться интегральным соотношением

Мнимый добавочный член в знаменателе U введен только для обеспечения правильного обхода особых точек на пути интегрирования. При неправильном обходе особых точек знак в показателе экспоненты в правой части этого соотношения меняется.

Задача. Вычислить приведенный выше интеграл при помощи контурного интегрирования или каким-либо другим методом.

Воспользовавшись приведенным выше соотношением для функции получаем

Учитывая, что имеем

где — уже 4-вектор, так что . В дальнейшем добавочный член будет опускаться.

Вместо введения такого добавочного члена можно просто считать, что имеет бесконечно малую отрицательную мнимую часть. Переход к импульсному представлению при этом совершается следующим образом (здесь мы производим преобразование Фурье как по пространству, так и по времени, так что в действительности это представление энергии — импульса):

где переменная интегрирования заменяет переменную в приведенном выше интегральном соотношении. Если учесть, что

то после интегрирования по получим

Наконец, применяя оператор к функции находим функцию распространения свободной частицы (считая )

Здесь учтено, что действие оператора на функцию сводится к умножению на . Воспользовавшись тождеством

функцию распространения можем также записать в виде

Преобразуя функцию к импульсному представлению, так же как это было сделано для функции получаем

Это и есть искомое выражение. Фактически такое преобразование можно произвести более изящным способом. Так, функция К (2, 1) является функцией Грина для оператора т. е.

В импульсном представлении оператору соответствует , а функции — единица. Учитывая это, уравнение (17.1) можно сразу записать в импульсном представлении

или

что и требовалось показать.

Тот факт, что уравнение (17.1) для функции К (21) имеет несколько решений, в выражгняя (17.2) отражается в сингулярности функции при Для определения однозначного решения следует указать способ обхода полюсов в этом интеграле. В частности, нужное нам решение будет выделено, если мы предположим, что имеет бесконечно малую отрицательную мнимую часть.