Лекция восемнадцатая

ИМПУЛЬСНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ

В связи с тем, что функция распространения для свободной частицы в импульсном представлении имеет очень простой вид

целесообразно переписать в импульсном представлении все полученные выше формулы.

В особенности это оказывается удобным для задач, в которых рассматриваются свободные быстро движущиеся частицы. При переходе к импульсному представлению необходимо произвести 4-мерное преобразование Фурье. Фурье-образ потенциала определим в виде

Для обратного преобразования при этом имеем

Функция интерпретируется как амплитуда вероятности того, что электромагнитное поле обладает импульсом q. В качестве примера рассмотрим кулоновское поле, для которого . Подставляя эти выражения в формулу (18.1), получаем

Здесь вектор Q — трехмерная часть 4-вектора импульса q, а функция возникает вследствие независимости потенциала от времени.

Матричные элементы.

Одним из преимуществ импульсного представления является простота вычислений матричных элементов. Напомним, что в пространственном представлении матричный элемент первого приближения определяется интегралом

Для свободной частицы отсюда имеем

В импульсном представлении это выражение существенно упрощается:

(18.3 а)

где величина

Матричный элемент второго приближения в пространственном представлении имеет вид

Подставляя в это выражение функции свободной частицы и используя фурье-преобразования для потенциалов, (18.2), получаем

Воспользуемся также фурье-преобразованием для функции распространения (см. предыдущую лекцию):

Подставим это выражение в формулу (18.4) и произведем интегрирование по Имеем

где функция . Интеграл по равен нулю для всех , за исключением Это позволяет проинтегрировать выражение (18.4) по . В результате получим

Интегрирование по дает вторую -функцию [аналогично формуле (18.5)], которая отлична от нуля лишь при

Поэтому после интегрирования по окончательно получим

Это выражение можно было написать сразу, используя диаграмму взаимодействия (фиг. 19). Электрон с волновой функцией их и импульсом движется как свободная частица из точки 1 в точку 3. В точке 3 он рассеивается на фотоне с импульсом [под действием потенциала ]. Поглотив импульс фотона, электрон затем движется из точки 3 в точку 4 как свободная частица с импульсом, равным согласно закону сохранения.

Фиг. 19

В точке 4 электрон рассеивается на втором фотоне с импульсом [под действием потенциала он получает дополнительный импульс ]. И, наконец, из точки 4 в точку 2 электрон движется как свободная частица с волновой функцией и импульсом Из диаграммы взаимодействия становится ясным также, что интегрирование следует проводить лишь по импульсу, так как при заданных величина определяется однозначно Согласно закону сохранения энергии,

В промежуточном же состоянии, так как оно является виртуальным, нельзя требовать, чтобы Из записи оператора в виде следует, что вклад промежуточных состояний во взаимодействие электронов тем меньше, чем больше в них нарушается закон сохранения энергии.

Результаты (18.3 а) и (18.6) можно подытожить в виде следующих правил вычисления матричных элементов М

1. Каждому виртуальному состоянию электрона с импульсом соответствует в N оператор

2. Каждому фотону с импульсом q соответствует в N оператор

3. По всем импульсам не определенным из законов сохранения, проводится интегрирование,

Напомним, что при вычислении интегралов контур интегрирования следует выбирать, обходя особые точки вполне определенным образом. Для этого в подынтегральном выражении заменяется на а в окончательных формулах полагается

В релятивистском случае приходится вычислять всего лишь несколько первых членов ряда теории возмущений. Часто оказывается достаточно точным предположение об однократном взаимодействии быстрых электронов (и позитронов) с потенциалом электромагнитного поля (борцовское приближение).

После того как матричный элемент М определен, вероятность перехода в единицу времени вычисляется с помощью формулы

где — нормирующий множитель, определенный в шестнадцатой лекции.