Лекция одиннадцатая

Следует отметить, что матрицы являются эрмитовыми только в определенных представлениях. В частности, они эрмитовы в том представлении, которое использовалось нами до сих пор. Это представление в дальнейшем будет называться обычным (стандартным). Чтобы плотность заряда и тока можно было записать в виде

необходимо потребовать эрмитовость матриц и . Эти соотношения справедливы не во всех представлениях матриц .

Уравнение Дирака имеет вид

где

(здесь восстановлены h и с). Учитывая четырехкомпонентность волновой функции , для среднего значения получаем

Аналогично можно показать, что

Матричные элементы оператора определяются так же, как и выше. Так, например,

Производная по времени от оператора А равна

Для оператора отсюда получаем

Здесь учтено, что коммутирует со всеми слагаемыми оператора Н, за исключением .

Из равенства следует, что собственные значения оператора равны ±1; это в свою очередь означает, что собственные значения оператора скорости равны Если учесть, что для точного определения скорости необходимо точно знать положения частицы для двух моментов времени, то этот результат покажется правдоподобным. Действительно, согласно принципу неопределенности, импульс частицы в таком случае является полностью неопределенным, т. е. все его значения равновероятны. Из релятивистского соотношения между импульсом и скоростью следует, что при этом наиболее вероятны скорости, близкие к скорости света. В пределе среднее значение скорости равно скорости света

Аналогично имеем

Второе и третье слагаемые в правой части этого выражения можно записать в виде

Легко видеть, что эта величина является -компонентой вектора

Оставшиеся два слагаемых дают -компоненту вектора электрического поля Е. Таким образом, имеем

где - аналог силы Лоренца. Это уравнение иногда рассматривается как аналог уравнения Ньютона. Однако в связи с тем, что это уравнение непосредственно не связано с в пределе малых скоростей оно прямо не переходит в уравнение Ньютона. Поэтому такая аналогия не является удачной.

Можно показать справедливость следующих соотношений, смысл которых пока еще остается недостаточно ясным или совсем не ясным:

В последнем соотношении под о следует понимать матрицу

т. е.

По аналогии с классической физикой можно ожидать, что оператор орбитального момента имеет вид

Заметим, что в классической физике

Из предыдущих формул для получаем выражение для производной по времени от оператора

Последнее слагаемое в правой части можно трактовать как момент вращения. В случае центральной силы F это слагаемое равно нулю. Однако из-за наличия первого слагаемого Это означает, что даже в поле центральных сил орбитальный момент частицы L не сохраняется.

Рассмотрим теперь производную по времени от оператора с, определяемого в виде

где и т. д. Компонента коммутирует с членами оператора Гамильтона Н и антикоммутирует с членами . Поэтому

где

Учитывая соотношения

находим

Легко видеть, что это является -компонентой вектора — Окончательно получаем

Это выражение совпадает по величине с первым слагаемым в правой части формулы для L, но имеет обратный знак. Поэтому имеем

В поле центральных сил это выражение равно нулю. Оператор можно трактовать как оператор полного момента частицы, причем L соответствует орбитальному моменту, — спиновому моменту частицы. Таким образом, в поле центральных сил сохраняющейся величиной является полный момент частицы.

Задачи. 1. Покажите, что в постоянном магнитном поле величина

является интегралом движения. Последнее является следствием аномального гиромагнитного отношения для электрона. Это означает также, что циклотронная частота электрона равна скорости его вращения в магнитном поле.

2. Покажите, что в постоянном магнитном поле в случае стационарного состояния компоненты и волновой функции

равны компонентам волновой функции в уравнении Паули.

Покажите также, что между кинетической энергией частицы в уравнении Паули и полной энергией в уравнении Дирака имеется связь

и объясните это соотношение.