Лекция двенадцатая

В уравнениях (11.6) и (11.7), полученных в предыдущей лекции, произведем разложение по малому параметру . С точностью до членов — имеем

Уравнение (11.7) в этом приближении принимает вид

Из условия нормировки получаем

При помощи замены

нормировочный интеграл упрощается и принимает вид (с точностью до членов — )

Эта замена облегчает также физическую интерпретацию уравнения (12.2).

Действительно, перепишем уравнение (12.2) в следующем виде:

Используя замену (12.4) и производя сокращение на получаем

Воспользуемся теперь алгеброй операторов, чтобы свести уравнение (12.5) к виду, наиболее удобному для интерпретации, В частности, вспомним соотношение

Далее, так как и

получаем (полагая в предыдущем соотношении ):

Наконец, учитывая, что в рассматриваемом случае уравнение (12.5) можно представить в следующем виде:

(6)

Каждое слагаемое в правой части этого волнового уравнения имеет определенный физический смысл.

Первое слагаемое представляет собой обычную скалярную потенциальную энергию частицы,

Второе слагаемое соответствует кинетической энергии.

Третье слагаемое характеризует, точно так же как и в уравнении Паули, влияние спина частицы.

Четвертое слагаемое представляет собой релятивистскую поправку к кинетической энергии частицы. Такая поправка получается из разложения

Последний член в этом разложении соответствует четвертому слагаемому в уравнении (12.6).

Пятое и шестое слагаемые характеризуют спин-орбитальное взаимодействие. Чтобы показать это, рассмотрим выражение (часть шестого слагаемого). В случае, когда поле это выражение пропорционально Произведение можно трактовать при этом как орбитальный момент частицы L, а полученное выражение — как характеризующее спин-орбитальное взаимодействие. Для электрона, находящегося в -состоянии это выражение равно нулю. С другой стороны, если учесть, что заключаем, что пятое слагаемое в уравнении (12.6) дает ненулевой вклад лишь в случае, когда электрон находится в -состоянии (т. е. когда волновая функция отлична от нуля при Таким образом, пятое и шестое слагаемые вместе характеризуют спин-орбитальное взаимодействие для всех состояний электрона. Магнитный момент электрона фигурирует в коэффициентах перед третьим, пятым и шестым слагаемыми в уравнении (12.6).

Шестое слагаемое в уравнении (12.6) можно также трактовать классически. Действительно, заряд, движущийся скоростью v в электрическом поле Е, испытывает действие эффективного магнитного поля , и (рассматриваемый член представляет собой взаимодействие магнитного момента электрона с этим полей

Получить Множитель 2 классическим путем, однако, невозможно. Еще до появления уравнения Дирака Томас показал, что простые классические соображения недостаточны для получения правильного значения рассматриваемого слагаемого. Иное положение имеет место для аномальных магнитных моментов нейтрона и протона, введенных Паули (см. ниже задачу 3). В модифицированном Уравнении Паули аномальные магнитные моменты этих частиц в соответствующих слагаемых фигурируют с правильным множителем 2.

Задачи. 1. Используя уравнение (12.6), найдите поправки первого порядка к спектру атома водорода. Полученные результаты сравните с точным спектром. Обратите внимание на разное поведение волновых функций в начале координат. Это отличие в действительности проявляется в слишком малой области пространства и поэтому не играет существенной роли. В начале координат точная волновая функция электрона в атоме водорода, полученная в результате решения уравнения Дирака, ведет себя как

в то время как из уравнения Шредингера находим

2. Считая, что А и зависят от времени и полагая получите временное уравнение Паули в используемом в настоящей лекции приближении.

3. Для описания протонов и нейтронов можно пользоваться модифицированным уравнением Паули. Оно получается введением в уравнение Дирака дополнительного члена, соответствующего аномальному магнитному моменту частицы,

Умножая это уравнение на , запишем его в более привычной «гамильтоновой» форме

Покажите, что в том же приближении, в котором найдено уравнение (12.6), отсюда можно получить для протонов уравнение

аналогичное уравнение имеет место для нейтронов (с зарядом

4. Уравнение (12.7) можно использовать для описания рассеяния нейтронов на электронах атома. В большинстве случаев рассеяние нейтронов на ядрах атома является изотропным. Однако вследствие того, что нейтроны рассеиваются также и электронами атома, возникает интерференция ядерного рассеяния и электронного. Для случая медленных нейтронов этот эффект был обнаружен экспериментально. Этот эффект объясняется с помощью пятого слагаемого в уравнении (12.6) [в модифицированном виде (12.7) с зарядом е=0]. Из-за того, что электроны находятся вне ядра атома, . Используя борцовское приближение, можно вычислить амплитуду рассеяния нейтронов на электронах атома, обусловленную пятым слагаемым. Однако в то время, когда этот эффект был впервые открыт, его объяснили, предположив, что потенциал взаимодействия нейтрона с электроном имеет вид , где — функция Дирака, a R — расстояние между нейтроном и электроном.

Вычислите амплитуду рассеяния в борновском приближении, исходя из потенциала , и результат сравните с точным, полученным с помощью пятого слагаемого в уравнении (12.6).

Покажите, что

Чтобы с можно было интерпретировать как потенциал, усредненный потенциал V следует определить таким образом, чтобы при действии на сферу радиуса он давал бы тот же результат.

Используя значение покажите, что результирующий потенциал V с точностью до экспериментальных погрешностей согласуется с экспериментальными данными, т. е.

5. Пренебрегая членами покажите, что