РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА ДЛЯ СВОБОДНОЙ ЧАСТИЦЫ

Лекция тринадцатая

При решении уравнения Дирака для свободной частицы удобно пользоваться четырехмерной формой записи:

Используя обозначения десятой лекции

запишем уравнение Дирака в виде

(Напомним, что величина является инвариантом при преобразованиях Лоренца.)

В четырехмерной форме следует записать также и плотность тока и заряда. В используемом нами представлении матриц для плотности тока и заряда имеем

Определив релятивистски сопряженную с функцию в обычном представлении

запишем плотности тока и заряда в четырехмерной форме

Эти соотношения легко проверить, используя выражение (13.2) и учитывая, что

Упражнения. 1. Покажите, что релятивистски сопряженная с функция удовлетворяет уравнению

2. Используя уравнения (13.1) и (13.3), покажите, что (уравнение непрерывности).

В общем случае сопряженный с оператором N оператор N образуется следующим образом: все матрицы в операторе N располагаются в обратном порядке, и у каждого мнимого множителя i (но не у тех, которые содержатся в самих матрицах ) знак меняется на обратный. Так, например, если то — , а если , то . Наконец, вместо свойства эрмитости операторов, столь полезного в нерелятивистской квантовой механике, в релятивистской механике необходимо иметь в виду следующее свойство:

Для свободной частицы, т. е. в отсутствие внешних полей, уравнение Дирака принимает вид

Решение этого уравнения будем искать в виде

Так как является четырехкомпонентной волновой функцией, то выражение (13.6) следует понимать как

Величина и, представляющая собой столбец из четырех компонент называется дираковским спинором. Выясним теперь, каким условиям должны удовлетворять компоненты и для того, чтобы выражение (13.6) было решением уравнения Дирака. Действие оператора на отдельные компоненты волновой функции сводится к умножению каждой компоненты на величину Следовательно, имеем

Учитывая это, из уравнения (13.5) получаем

Отсюда следует, что выражение (13.6) является решением уравнения Дирака при условии . Для простоты выкладок предположим, что частица движется в плоскости так что

При этом . Учитывая, что в используемом нами представлении

имеем

В результате уравнение (13.7) в компонентах принимает следующий вид;

(13.9 а)

Из уравнений (13.9 а) и (13.9 г) можно независимо определить отношение . Выражение (13.6) будет решением уравнения Дирака, если величина определенная двумя способами, одна и та же. Поэтому

или

(13.10)

Это условие является вполне естественным. Оно гласит, что 4-импульс частицы должен быть выбран так, чтобы удовлетворить релятивистскому соотношению для полной энергии.

Аналогично, определив из уравнений (13.96) и (13.9 в) величину найдем

Отсюда также получаем условие (13.10).

Более изящно условие (13.10) можно получить, исходя непосредственно из уравнения (13.7). Умножая уравнение (13.10) на , получаем

Используя далее соотношение (10.9), имеем

Из сравнения этих соотношений следует либо

либо

Первое совпадает с условием (13.10), а второе дает тривиальное (а поэтому не интересное) решение.

Уравнение Дирака для свободной частицы имеет два линейно независимых решения. Это следует из того факта, что после подстановки решения в виде (13.6) уравнение Дирака распадается на две пары уравнений (13.9) соответственно для и для «а и из. Поэтому удобно выбрать линейно независимые решения таким образом, чтобы в каждом из этих решений две компоненты спинора и равнялись нулю. Такие два решения для спинора и можно записать в виде

где введены следующие обозначения:

Эти решения ненормированы.