Лекция двадцать девятая

В предыдущей лекции было показано, что при рассеянии частицы на внешнем потенциале основной эффект обусловлен самим потенциалом а. Поправочный член, возникающий из диаграммы I (см. фиг. 48), входит в выражение (28.9) для матричного элемента;

Нам осталось показать, что суммарный вклад в матричный элемент от диаграмм II и III (см. фиг. 48) с учетом изменения массы электрона равен

Этот член в точности сокращается с последним членом приведенного выше выражения. Напомним, что учет изменения массы электрона и самодействия, представленного на диаграммах I, II и III, необходим, так как теория должна содержать не «теоретическую», а экспериментальную массу.

Заменим в уравнении Дирака

теоретическую массу ттеор на где экспериментальная масса. Получим

Так как величина изменения массы электрона является просто числом, то в импульсном представлении она будет пропорциональна -функции импульса. Из уравнения Дирака следует, что играет роль потенциала, диагонального в импульсном представлении и отличного от нуля лишь при нулевом импульсе. Действие такого потенциала можно представить в виде диаграмм, показанных на фиг. 49. Знак минус указывает, что результат действия потенциала вычитается из поправок, обусловленных диаграммами I, II и III (см. фиг. 48).

Амплитуда вероятности процесса, представленного на диаграмме II, оказывается равной

а амплитуда вероятности процесса на диаграмме II (фиг. 49) равна

Фиг. 49.

Величина в круглых скобках в выражении для амплитуды вероятности процесса, изображенного на диаграмме II, в точности равна Поэтому кажется, что приведенные выражения взаимно сокращаются. Аналогичное положение имеет место для диаграмм III и III. Это, однако, неверно, причем ошибка возникает вследствие того, что обе приведенные выше амплитуды вероятностей оказываются расходящимися из-за наличия множителя в знаменателе. Поэтому их разность является неопределенной. Как будет показано, при правильном вычитании их разность оказывается конечной.

Предлагаемый метод вычитания, фактически, учитывает суммарный эффект самодействия и изменения массы в диаграммах II, III, II и III. Он основывается на том, что реальный электрон никогда не является действительно свободным. Электрон постоянно испытывает рассеяния. Время между актами рассеяния читается большим, но конечным.

Достаточно вычислить эффект самодействия и изменения массы между произвольными двумя актами рассеяния, ибо совершенно очевидно, что результат одинаков для любой пары. Такой эффект, вычисленный для одного интервала между актами рассеяния, далее, для простоты, связывается с эффективным потенциалом, действующим в каждом акте рассеяния (число актов рассеяния равно числу интервалов между ними). Возникающая при этом поправка к потенциалу от одного акта рассеяния учитывает все эффекты, представленные на диаграммах

Если электрон не полностью свободен,то , и можно записать

где, согласно принципу неопределенности,

Здесь Т — временной интервал между актами рассеяния электрона. Так как время Т велико, величина является малой. Запишем где — импульс свободного электрона.

Если рассеивающие потенциалы в точках а и b в импульсном представлении обозначить соответственно через . В (для любых двух актов рассеяний), то амплитуда вероятности перехода электрона из начального состояния в точке а в конечное состояние в точке b при отсутствии каких-либо возмущений с точностью до членов порядка в будет определяться выражением

Если же учесть возмущения, обусловленные самодействием и изменением массы электрона, то получим

Сравнение этого выражения с предыдущим, не учитывающим возмущения, позволяет определить интересующий нас поправочный член (фиг. 50).

Фиг. 50.

Задача. Покажите, что для двух некоммутирующих (или коммутирующих) операторов А и В справедливо следующее соотношение:

Воспользовавшись результатом этой задачи, можем записать

Для приведенной выше амплитуды вероятности перехода (с учетом возмущений) при этом получаем

Первое и последнее слагаемые этого выражения с точностью до членов порядка тождественно равны друг другу и взаимно сокращаются.

Второе же слагаемое содержит интеграл, по существу уже вычисленный при рассмотрении диаграммы (см. фиг. 48). . Он отличается лишь тем, что вместо величин входит причем в рассматриваемом случае q . В результате для этого слагаемого получаем выражение

С точностью до членов порядка величину в числителе можно заменить на Если учесть, кроме того, что, так как

таким образом, приведенное выражение для второго слагаемого можно записать в виде

Это выражение отличается от соответствующего выражения, полученного без учета возмущений, множителем — Таким образом, как и утверждалось выше, поправочный член, обусловленный диаграммами III, IV и IIV, получается в результате простой замены рассеивающего потенциала а на —

Следует отметить, что рассмотренная трудность, связанная с правильным учетом самодействия и изменения массы, представляет собой проблему «расходимости», специфичную для квантовой электродинамики. Такая же трудность возникает и в нерелятивистской квантовой механике, если ввести, например, ненулевой исходный потенциал, т. е. считать, что свободный электрон все время движется в однородном ненулевом потенциальном иоле. Можно легко проверить, что при этом возникнет «поправка к энергии» свободного электрона, совершенно аналогичная рассмотренной здесь поправке к массе. Далее, вычисляя амплитуду вероятности рассеяния с помощью волновых функций свободного электрона, используя при этом «теоретическую энергию» и учитывая эффект «изменения энергии», получаем разность двух различных расходящихся членов.

В этом простом случае расходящиеся члены правильном вычитании, в действительности, сокращаются. Эта проблема полностью аналогична рассмотренной здесь проблеме.

В заключение приведем полное выражение для поправочного члена, обусловленного эффектами самодействия и изменения массы электрона