РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА ЧАСТИЦЫ

Компоненты обычной трехмерной скорости не преобразуются подобно компонентам -вектора, -вектором является величина

где

— элемент пути частицы, — собственное время, определяемое соотношением

Вектор называется 4-вектором скорости и обозначается через Разделив на получим связь между собственным временем и обычным локальным временем

Компоненты обычной трехмерной скорости связаны с компонентами -вектора скорости следующим образом:

Легко показать, что . Действительно,

4-импульс определяется соотношением

Замечая, что совпадает с полной энергией частицы Е, находим следующее соотношение для трехмерного импульса :

где V — обычная трехмерная скорость.

Подобно скорости, компоненты трехмерной силы (определяемой как временная производная от импульса) также не образуют компонент 4-вектора. 4-вектором является величина

с компонентами

где - обычная сила; четвертая же компонента равна

Последнее следует из трехмерного соотношения:

а также из того факта, что представляет Сфбой полную энергию частицы,

Таким образом, релятивистским обобщением уравнения Ньютона является уравнение

Трехмерная сила Лоренца имеет вид

причем работа этой силы в единицу времени (скорость изменения энергии) равна

Учитывая приведенное выше определение 4-вектора силы, получаем

и

Задача. Покажите, что выражения для f и эквивалентны 4-вектору:

и что релятивистское уравнение Ньютона можно записать в виде

Докажите также соотношение

В трехмерной форме уравнение движения частицы записывается в виде

Это можно показать, воспользовавшись уравнением Лагранжа

где функция Лагранжа определена соотношением

Канонически сопряженный координате импульс при этом дается выражением т. е.

Соответствующий гамильтониан частицы имеет вид

откуда Придать гамильтоновой формулировке уравнений движения ковариантный или четырехмерный вид весьма трудно. Однако принцип наименьшего действия, который гласит, что действие

должно быть минимальным, приводит непосредственно к релятивистским уравнениям движения, если его представить в виде

Здесь мы воспользовались определением

Интересно заметить, что к таким же уравнениям движения приводит действие

Задачи. 1. Покажите, что функция Лагранжа (8.5) приводит к уравнениям движения (8.4) и что соответствующий этим уравнениям гамильтониан определяется формулой (8.6). Найдите, кроме того, выражение для импульса .

2. Покажите, что условие (вариация S), где S определяется приведенным выше выражением, приводит к тем же самым уравнениям движения.