РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ НА ЭЛЕКТРОНАХ

В этом разделе мы воспользуемся изложенной выше теорией для вычисления сечения рассеяния электронов электронах. Диаграммы для двух неразличимых процессов рассеяния представлены на фиг. 37.

Амплитуду рассеяния в импульсном представлении можно получить следующим образом. Запишем выражение (25.3) в виде [с учетом соотношения (25.4)]

Так как волновые функции электронов в состояниях 1, 2, 3 и 4 являются плоскими волнами с импульсами легко видеть, что спинорные части выражений в квадратных скобках в импульсном представлении соответственно равны и Интегрирования по приводят к законам ранения, приведенным внизу на диаграммах (см. фиг. 37). Таким образом, матричный элемент взаимодействия можно записать в виде

Первое слагаемое соответствует диаграмме R, а второе — диаграмме S на фиг. 37. Суммирование подразумевается по повторяющимся индексам . В системе центра тяжести вероятность перехода в единицу времени определяется выражением

Фиг. 37

(см. девятнадцатую лекцию «Плотности конечных состояний»). Воспользуемся теперь изложенным выше методом (двадцать третья лекция) для усреднения этого выражения по начальным спиновым состояниям электрона и суммирования по конечным. Так, например, в результате суммирования по спиновым состояниям для матриц получаем

Правильное использование соотношений для шпуров, выписанных в двадцать третьей лекции, приводит к следующему выражению для дифференциального сечения рассеяния (для непосредственного вычисления М можно также воспользоваться табл. 3):

где Рассмотренное рассеяние электронов на электронах называют также мёллеровским рассеянием (фиг. 38).

Фиг. 38.

Задачи. 1. С помощью изложенного метода вычислите сечение рассеяния позитронов на электронах.

2. Найдите сечение соударения -мезона с электроном. Считайте, что -мезон удовлетворяет уравнению Дирака для частицы со спином и не имеет аномального магнитного момента. Следует иметь в виду, что в рассматриваемом случае частицы не являются тождественными, и поэтому они не взаимозаменяемы.

3. Вычислите возможное сечение рассеяния электрона на протоне, принимая протон за бесструктурную частицу с аномальным магнитным моментом. Уравнение Дирака для протона имеет вид (см. двенадцатую лекцию)

При этом величину

можно рассматривать как оператор возмущения.

Взаимодействие протона с фотоном описывается выражением (в импульсном представлении)

Суммирование по четырем направлениям поляризации фотона.

В классической электродинамике продольные волны всегда можно исключить, оставляя в теории лишь поперечные волны и мгновенное кулоновское взаимодействие. Такой же подход используется в методе Ферми (см. первую лекцию). Сейчас мы покажем, что суммирование по четырем направлениям поляризации фотона также эквивалентно учету лишь поперечных волн и мгновенного кулоновского взаимодействия. Выберем систему координат , направляя одну ось вдоль вектора Q (импульс фотона), а две другие оси располагая в плоскости, перпендикулярной Q. Матричный элемент рассеяния электронов на электронах при этом можно записать в виде

где представляют собой проекции матриц на направление вектора Q и на направление, перпендикулярное к нему. Суммирование ведется по проекциям на два взаимноперпендикулярных направления, перпендикулярные вектору Q. Матричный элемент оператора всегда равен нулю (это является следствием калибровочной инвариантности).

Поэтому можно заменить на . В результате получим

Заметим далее, что представляет собой фурье-образ кулоновского поля, а у, — четвертую компоненту плотности тока (плотность заряда). Таким образом, первое слагаемое в этом выражении соответствует кулоновскому взаимодействию, в то время как второе слагаемое соответствует взаимодействию частиц, обусловленному поперечными волнами.