Лекция четвертая

Поглощение света.

Амплитуда вероятности перехода за время Т из состояния k в состояние l (фиг. 2) согласно теории возмущений, равна

где временная зависимость функции определяется выражением

Фиг. 2.

(В соответствии с правилами квантовой электродинамики, изложенными во второй лекции, знак показателя экспоненты отрицательный, и учитываются лишь линейные члены по потенциалу.) Используя эту временную зависимость и выполняя интегрирование, получаем

Вероятность перехода при этом дается выражением

где Это выражение представляет собой вероятность поглощения фотона с частотой распространяющегося в направлении (). Функциональная зависимость от направления распространения фотона содержится в матричном элементе . В дипольном приближении, например, такая зависимость определяется формулой (4. 3).

Если падающее излучение содержит целую область частот и направлений распространения, причем

то для вычисления полной вероятности поглощения фотона в этом телесном угле необходимо проинтегрировать по всем частотам. В результате для полной вероятности поглощения фотона получим выражение

При больших Т величина отлична от нуля лишь при значениях близких к разности Именно эта область частот дает основной вклад в интеграл. Учитывая это, функции можно вынести из-под знака интегрирования. В результате получим

Вероятность перехода

где

Выражение (4.1) можно также записать через интенсивность падающего излучения (поток энергии через единицу поверхности в единицу времени), если вспомнить, что

При этом имеем

Используя дипольное приближение, в котором

для полной вероятности поглощения фотона (в единицу времени) получаем выражение

Между вероятностью спонтанного излучения фотона при переходе атомной системы из состояния в состояние k, равной

и вероятностью поглощения фотона при обратном переходе системы из состояния k в состояние l (для переходов между такими состояниями определяемой формулой (4.1), существует соотношение. Проще всего это соотношение установить, используя функцию характеризующую вероятность заполнения заданного состояния фотона. Так как число состояний фотонов в телесном угле и в интервале частот равно , то для вероятности обнаружения фотона в этой области имеем

Выражая вероятность поглощения фотона через получаем

Вероятность перехода

Это соотношение можно интерпретировать следующим образом. Так как величина представляет собой вероятность того, что состояние фотона занято, то все остальные члены в правой части соотношения (4.4) должны давать вероятность поглощения фотона из этого состояния в единицу времени. Сравнение соотношения (4.4) с вероятностью спонтанного излучения фотона показывает, что

Из дальнейшего будет видно, что соотношение (4.4) остается справедливым я в том случае, когда в одном состоянии возможно существование нескольких фотонов при условии, если рассматривать как среднее число фотонов в данном состоянии.

Если вначале в одном и том же состоянии находятся два фотона, то из-за неразличимости фотонов статистический вес начального состояния будет равен Однако амплитуда вероятности поглощения фотона при этом будет в два раза больше, чем в случае одного фотона в начальном состоянии. Умножая статистический вес на. квадрат амплитуды вероятности поглощения фотона, находим, что вероятность перехода в единицу времени в этом случае также в два раза больше, чем вероятность перехода в случае одного фотона в начальном состоянии. Если в одном и том же начальном состоянии находятся три фотона, а поглощается лишь один, то имеется шесть различных возможностей протекания процесса, представленные на фиг. 3.

Фиг. 3.

Каждый из трех падающих фотонов может быть поглощен, и, кроме того, оставшиеся непоглощенные фотоны могут быть взаимно заменены. Статистический вес начального состояния при этом равен а конечного состояния — 1/21. Амплитуда вероятности процесса равна 6 (в единицах амплитуды вероятности процесса

Таким образом, полная вероятность перехода в три раза больше, чем вероятность перехода в случае одного фотона в начальном состоянии. В общем случае, при наличии фотонов в начальном состоянии вероятность перехода в раз больше, чем вероятность перехода в случае одного фотона в начальном состоянии. Это и Показывает, что соотношение (4.4) остается справедливым, если под понимать среднее число фотонов в данном состоянии.

Падающий фотон может индуцировать переход, сопровождающийся излучением фотона. Такие процессы (включающие один падающий фотон) представлены с помощью диаграмм «а фиг. 4.

Фиг. 4.

На атом падает один фотон, а излучаются два фотона, неразличимых между собой. Статистический вес конечного состояния равен а амплитуда вероятности процесса равна 2 (в единицах вероятности спонтанного излучения), так что вероятность рассматриваемого индуцированного излучения в два раза больше спонтанного. В случае, когда падают фотонов, статистический вес начального состояния равен конечного — , а амплитуда вероятности индуцированного излучения в раз превышает амплитуду вероятности спонтанного излучения. Поэтому вероятность индуцированного излучения (в единицу времени) в раз больше спонтанного. Можно сказать, что множитель происходит за счет индуцированных переходов, а 1 соответствует спонтанному переходу.

Так как потенциал, использованный нами для вычисления вероятности перехода, был нормирован на один фотон в единице объема, а сама вероятность перехода пропорциональна квадрату потенциала, ясно, что, когда в одном состоянии находятся фотонов, правильное выражение для вероятности поглощения фотона можно получить путем нормировки потенциала на фотонов в единице объема (т. е. увеличив амплитуду раз). Это кладется в основу так называемой квазиклассической теории излучения. В этой теории поглощение фотона рассчитывается по теории возмущения с использованием потенциала, нормированного на фактическую энергию поля, т. е. при наличии фотонов на энергию о). Однако выражение для вероятности индуцированного излучения, которое, как было показано, пропорционально в квазиклассической теории получается неправильным. Ошибка возникает от пренебрежения спонтанной частью вероятности перехода. В квазиклассической теории излучения учет спонтанной чаютта вероятности излучения достигается с помощыо Общих соображений, основанных на том, что такой учет приводит к формуле распределения Планка, подтвержденной экспериментом. Впервые соотношения между вероятностями излучения и поглощения фотонов квазиклассическим способом были получены Эйнштейном.