§ 2. Скорость звука и поглощение в газах и жидкостях

Остановимся сначала на определении скорости звука в газах. Формула для адиабатической скорости звука (лапласова скорость) хорошо оправдывающаяся на опыте, получена в

Предположении адиабатичности процесса распространения. При этом считается, что между участками сжатия и разрежения в волне температура не успевает выравниваться.

В первом приближении значение с не зависит ни от частоты звука, ни от его амплитуды, хотя при определенных условиях такие зависимости имеются; об этом подробно будет идти речь в §§ 3 и 4 этой главы и в гл. 3. Зависимость скорости от температуры для идеальных газов можно найти, используя соотношение откуда где Т — абсолютная температура, R — газовая постоянная, а — молекулярная масса. Для воздуха с возрастает примерно на при увеличении Т на ГС; значение с при нормальном атмосферном давлении и температуре 0 °С составляет . В рамках принятых предположений скорость звука не зависит от давления, поскольку в формулу для сдавление и плотность входят в виде отношения Приведенная выше формула для с получена феноменологически, на основе термодинамического уравнения состояния газа и уравнений гидродинамики; еще раз подчеркнем, что она выведена при условии идеальности среды и при числе Маха . Отметим, что из кинетической теории газов следует, что , т. е. что кинематическая вязкость имеет порядок произведения длины волны свободного пробега молекул I на среднюю скорость их теплового движения . Поскольку скорость звука имеет величину порядка средней скорости движения молекул газа то . Это соотношение представляет собой «акустическую» интерпретацию длины свободного пробега. Естественно, что говорить о распространении звука имеет смысл только при при гидродинамические уравнения не допускают осциллирующего решения и необходимо микроскопическое, а не феноменологическое рассмотрение.

Вычисление с на микроскопическом уровне на основе кинетической теории проводилось многими авторами, с чем подробно можно ознакомиться в [1, 21. В случае одноатомного идеального газа (когда взаимодействием молекул можно пренебречь) еще Лоренц [1] на основе кинетического уравнения Больцмана нашел уравнение для скорости распространения малого возмущения функции распределения в первом приближении, ограничиваясь членами первого порядка по — длина свободного пробега молекул газа и а — расстояние, на котором плотность изменяется заметным образом). При этом для скорости распространения этого возмущения им была получена формула что совпадает с выводами макроскопического рассмотрения.

Даже для одноатомного газа теоретическое нахождение с представляет собой сложную задачу, которая решается лишь приближенно. При нахождении с для двухатомного газа на основе газокинетического рассмотрения следует пользоваться модельным представлением. При решении задач по теоретическому вычислению с нужно, кроме учета теплового движения, сделать определенные предположения о характере столкновений молекул, учесть распределение

скоростей в тепловом движении, нецентральные удары, вращение молекул при соударениях и т. д. Такого рода задачи относятся к молекулярной и статистической физике; по этим вопросам имеется обширная литература [1, 2].

Жидкости занимают промежуточное положение между твердыми телами и газами, обладая, в отличие от твердых тел, лишь ближним порядком. Теория жидкого состояния не разработана в такой степени, как для газов и твердых тел (кристаллов). По этой причине теоретические расчеты скорости звука в жидкостях, основанные на молекулярных представлениях, оказываются в еще меньшей степени обоснованными, чем для реальных газов. Имеются только эмпирические и полуэмпирические выражения для с в жидкостях, дающие связь между с и такими макроскопическими параметрами, как .

Представляет интерес нахождение с для смесей жидкостей и определение с для растворов. Все эти вопросы достаточно подробно изложены в монографиях по молекулярной акустике [1—3].

Поскольку скорость звука с определяется структурой среды и взаимодействием между молекулами, измерение с дает существенные сведения о равновесной структуре газов или жидкостей. Измерения с представляют собой важный метод определения термодинамических величин — адиабатической и изотермической сжимаемостей (в последнем случае при дополнительном измерении теплоемкости при постоянном объеме ).

Отметим также, что по данным измерений с оказывается возможным судить о составе газовых смесей (ультразвуковые газоанализаторы) и смесей жидкостей, в том числе растворов. При наличии потоков смесей точность измерения с понижается благодаря турбулентному характеру движения. Однако определение флуктуаций скорости звука можно использовать для изучения турбулентного движения, о чем будет, в частности, идти речь в гл. 7.

По мере распространения звуковой волны амплитуда ее уменьшается. Это связано с рядом причин: с убылью плотности энергии волны вследствие увеличения поверхности, занимаемой фронтом волны (сферические, цилиндрические и вообще расходящиеся волны), поглощением энергии волны вследствие диссипативных процессов, вызываемых вязкостью и теплопроводностью среды, рассеянием на неоднородностях. Для плоской бегущей волны убыль ее амплитуды из-за процессов диссипации характеризуется коэффициентом поглощения а, который показывает, на каком расстоянии амплитуда волны (например, звуковое давление ) убывает вераз, т. е.

Относительная убыль амплитуды на единицу расстояния будет

(амплитудный пространственный коэффициент поглощения). Величина а может быть определена также как убыль энергии волны,

распространяющейся со скоростью с за единицу времени:

где Е — плотность энергии волны, поглощаемой за единицу времени, — полная энергия звуковой волны, усредненная за период времени Т; двойка в знаменателе (2.3) появляется из-за квадратичной зависимости энергии от амплитуды.

Для того чтобы определить, от каких параметров среды и волны зависит коэффициент поглощения а, следует учесть все диссипативные процессы, происходящие при распространении звука в среде [4, 5]. При учете вязкости и теплопроводности в волновое уравнение (1.3) должен быть добавлен диссипативный член. Для его нахождения мы должны использовать уравнения гидродинамики вязкой теплопроводящей жидкости. Выпишем эти уравнения для случая распространения звука, когда скорость v есть акустическая скорость и когда квадратичными членами можно пренебречь, т. е. будем рассматривать линейный случай.

Эти уравнения, согласно (1.2.1), (1.2.8) и уравнению состояния , будут

Два последних уравнения можно свести к одному уравнению для , в которое, кроме члена войдет также член, определяемый теплопроводностью к. Воспользуемся тем, что и, принимая во внимание уравнение (1.2) и то, что получим, согласно третьему уравнению системы (2.4), для изменения (приращения) энтропии s соотношение

При подстановке s в четвертое уравнение системы (2.4) появится необходимость вычислить коэффициент Для его вычисления воспользуемся некоторыми термодинамическими соотношениями, справедливыми для идеального газа. Так, используя уравнение состояния для идеального газа можно вычислить (здесь использовано равенство ). С другой стороны, как известно из термодинамики, и так как то Используя эти соотношения, получаем для (четвертое уравнение системы (2.4) с учетом равенства ) выражение

Заметим, что имеется некоторая непоследовательность в наших рассуждениях — занимаясь изучением влияния вязкости и теплопроводности на поглощение звука, мы, тем не менее, пользуемся соотношениями, которые справедливы для идеальной среды. Использование этих соотношений возможно лишь при малом влиянии вязкости и теплопроводности на распространение звука, т. е. когда поглощение звука на расстоянии, равном длине волны К, мало и . В большом числе акустических задач это условие выполняется.

Пользуясь полученным выражением (2.6) и считая по-прежнему, что можно показать, что уравнение Навье — Стокса примет вид

где

Из уравнений (2.4), (2.7) получим уравнение, которое для потенциала скорости можно записать в виде

Это волновое уравнение описывает распространение волн бесконечно малой амплитуды в среде с диссипацией, но без учета дисперсии; диссипативный коэффициент b считается здесь не зависящим от частоты.

Будем рассматривать случай плоской гармонической волны и искать решение этого уравнения в виде . Подставляя это значение в (2.9), получим для волнового числа k следующее выражение:

Полагая и принимая во внимание, что

приходим к выводу, что величина или мнимая часть волнового числа k, представляет собой коэффициент поглощения волны. Таким образом, получаем для волны, бегущей в положительном направлении х (принимая во внимание (1.7)),

т. е. амплитуда звукового давления для плоской волны убывает с расстоянием х в соответствии с коэффициентом поглощения

Подчеркнем, что коэффициент поглощения пропорционален квадрату частоты звука и диссипативным коэффициентам . Впервые эта формула была получена Стоксом без учета теплопроводности влияние которой затем учел Кирхгоф. Хотя Стокс и понимал роль и значение объемной вязкости тем не менее включение ее в (2.8) впервые было сделано, по-видимому, только Рэлеем [51. Поэтому обычно формулой Стокса — Кирхгофа называют формулу для а без учета

Выражение для а получено нами на основе волнового уравнения (2.9). Это же выражение для а можно получить другим путем, используя уравнение (1.2.12). Для этого следует воспользоваться известными термодинамическими соотношениями — для приращения температуры Т в звуковой волне, распространяющейся в жидкости со скоростью с и имеющей колебательную скорость (здесь — — коэффициент теплового расширения), и выражением для разности теплоемкостей . В случае плоской гармонической волны легко находится, и поскольку то с помощью третьего уравнения (2.4), используя определение коэффициента поглощения (2.3), получаем формулу (2.12) [6].

При взгляде на формулу (2.12) или (2.13) возникает вопрос: как получается, что при распространении плоской звуковой волны, когда, казалось бы, сдвиговые напряжения отсутствуют, проявляется сдвиговая вязкость? Дело здесь заключается в том, что в плоской акустической волне нет чистой деформации всестороннего сжатия. Сжатие происходит только по одной координате, вследствие чего отдельные элементы среды, кроме сжатия, испытывают еще и сдвиги. В результате и получается, что в компоненту тензора вязких напряжений которая определяет а в случае плоской продольной волны, в соответствии с формулой (1.2.4) входит сдвиговая вязкость