§ 2. Продольные и поперечные волны в изотропном твердом теле

Твердые тела, в отличие от жидкостей, наряду с объемной упругостью характеризуются также упругостью по отношению к сдвиговым деформациям. Поэтому картина упругих волн в твердых телах значительно богаче, чем в жидкостях. Уже в неограниченной твердой среде могут существовать не только продольные, но и поперечные волны, обусловленные сдвиговой упругостью. Наличие границ раздела приводит к появлению новых типов распространяющихся возмущений — поверхностных и граничных волн, волн в пластинах, стержнях и т. д. При описании свободных волновых движений изотропной твердой среды будем исходить из общего

уравнения движения в отсутствие объемных сил:

Считая процесс распространения волн адиабатическим, что для большинства твердых тел справедливо до частот , добавим к (2.1) линеаризованное уравнение состояния (закон Гука, см. (1.11)). После подстановки (1.11) в (2.1) нетрудно получить следующее уравнение:

которое удобно переписать в векторной форме:

Если воспользоваться векторным тождеством:

то от (2.2) легко перейти к равносильному уравнению:

к анализу которого мы и перейдем ниже.

Мы уже пользовались тем, что для любого кусочно-дифференцируемого векторного поля и по теореме Гельмгольца справедливо представление в виде суммы потенциального и i и соленоидального (вихревого) полей:

где причем это представление единственно. Очевидно, выражение (2.5) эквивалентно представлению вектора в виде суммы градиента некоторого скаляра и ротора некоторого вектора . При этом

Подстановка (2.5) в (2.4) дает

(ткуда в силу единственности разложения вектора и на потенциальную и соленоидальную части находим

Применяя тождество (2.3) к векторам , получим окончательно следующие волновые уравнения для

в которых через обозначены скорости распространения потенциальных и вихревых возмущений. Эти скорости называют также продольной и поперечной скоростями звука, а соответствующие им волны — продольными и поперечными.

Употребляются также термины «волны сжатия — расширения» и «сдвиговые волны», так как первые связаны с изменением объема: а при распространении вторых изменения объема не происходит: . В частности, для плоских волн, т. е. для волн, в которых деформации зависят только от одной из пространственных координат, например от имеем Нетрудно убедиться, что в силу положительности всегда справедливо неравенство . Для гармонических полей от уравнений (2.6) и (2.7) можно перейти к уравнениям Гельмгольца для :

где — волновые числа продольной и поперечной волн.

Заметим, что сама возможность разделения волн в твердом теле на продольные и поперечные связана с его однородностью и изотропностью. В неоднородной среде такое разделение в общем случае уже не может быть проведено [6]. То же относится и к волнам в анизотропных средах [1, 7].

Часто удобно иметь дело не с самими физическими полями, а с потенциалами, через которые эти поля выражаются с помощью дифференциальных операций. С одним из таких представлений мы уже встречались при обсуждении выражения (2.5). Перепишем его в виде и получим уравнения для потенциалов . Очевидно, при выводе можно исходить непосредственно из (2.4), проводя выкладки, аналогичные сделанным выше. Более разумно, однако, сразу воспользоваться уже полученными уравнениями для учитывая, что . При этом из (2.6) следует равенство

интегрируя которое по координатам, найдем

Переходя к этому уравнению, мы отбросили аддитивное решение в виде некоторой функции от времени, не дающей вклада в волновое движение среды. Аналогично для векторного потенциала:

После интегрирования получаем

Здесь мы отбросили аддитивное решение в виде суммы функции от времени и некоторого потенциального вектора. Последний обычно считают равным нулю, налагая требование соленоидальности для в силу неоднозначности потенциалов это всегда можно сделать. Упрощение, достигаемое за счет введения потенциалов, состоит в уменьшении числа решаемых уравнений. Действительно,

если поля смещений описываются двумя Векторными волновыми уравнениями (2.6), (2.7) и двумя условиями калибровки, то поля потенциалов — двумя волновыми уравнениями: скалярным (2.8) и векторным (2.9), дополненными одним условием калибровки аналогичным кулоновской калибровке в электродинамике. Еще большее упрощение достигается в тех случаях, когда поля обладают той или иной симметрией. Особенно просты уравнения в потенциалах для плоского движения. Пусть, например, частицы движутся в плоскости . При этом отлична от нуля только -компонента векторного потенциала

Анализ волновых движений сводится при этом к решению двух скалярных уравнений для