§ 2. Влияние симметрии упругих свойств на распространение волн. Пример расчета для кубического кристалла

Остановимся вкратце на основных упругих свойствах кристаллов, которые нам понадобятся в дальнейшем. Прежде всего заметим, что из выражения для внутренней, или потенциальной энергии деформированного кристалла [3, 4]

следует, что из-за симметрии тензора деформации произведение не меняется при перестановке индексов i с с I и пары с парой . Тензор модулей упругости , очевидно, обладает теми же свойствами. Поэтому в общем случае он имеет не различную компоненту, а только 21. Указанная симметрия позволяет пользоваться матричной записью закона Гука , где — деформация в одноиндексном обозначении; и переход от одной системы обозначений к другой осуществляется заменой пары на согласно схеме

Физическая симметрия кристалла приводит к дальнейшему уменьшению числа упругих постоянных. Рассмотрим, например, кубический кристалл и предположим, что за оси координат выбраны оси симметрии четвертого порядка. Повернем кристалл на 90° вокруг оси так, что Поскольку компоненты

тензоров при переходе к новым координатам преобразуются, как произведения координат, получим, что Так как рассмотренный поворот есть преобразование симметрии, то . Аналогичным образом легко убедиться, что но . Поэтому, чтобы удовлетворить требованиям симметрии, необходимо, чтобы соблюдалось тождество Рассматривая преобразования симметрии относительно других осей, можно убедиться, что кубический кристалл имеет всего три независимых упругих модуля Матрица при этом принимает вид

Прежде чем перейти к анализу распространения волн в конкретных кристаллах, напомним основные сведения о широко распространенном в кристаллографии методе обозначений кристаллографических осей и плоскостей с помощью индексов Миллера (см., например, [5]). Метод основан на том, что положение любого узла кристаллической решетки (рис. 9.2, а) выражается через три основные трансляции (не обязательно ортогональные) в виде где — любые целые числа, называемые компонентами вектора R относительно базиса

Рис. 9.2. К объяснению кристаллографических обозначений: а) направление [121]; б) плоскость (111).

Ясно, что любое, кристаллографическое направление, т. е. направление прямой, проходящей по крайней мере через два узла решетки, можно характеризовать узлом, лежащим в начале координат (нулевые значения ) и ближайшим узлом, пересекаемым данной прямой. Соответственно кристаллографическое направление определяется вторым узлом и обозначается символом Компоненты в данном случае называются индексами Миллера данного кристаллографического направления. Например, кристаллографические оси координат имеют следующие индексы Миллера:

. Если какая-либо из компонент отрицательна, то над соответствующей цифрой ставится черточка.

Для обозначения кристаллографических плоскостей используются наименьшие ненулевые компоненты отрезков, отсекаемых рассматриваемыми плоскостями на кристаллографических осях координат (рис. 9.2, б), - соответственно величины (предполагается, что плоскость находится на минимальном расстоянии от начала координат, но не проходит через него). При этом индексами Миллера данной кристаллографической плоскости называются величины , а сама плоскость обозначается символом Например, координатные плоскости имеют следующие обозначения:

Проанализируем теперь распространение плоских волн в кубическом кристалле. Для простоты вычислений будем рассматривать направление симметрии [110]. Такой выбор направления задается значениями . Нетрудно убедиться, что в рассматриваемом случае ненулевые компоненты тензора Кристоффеля равны и уравнение (1.7) расщепляется на два уравнения:

    (2.2)

Решение (2.1) дает а из (2.2) следует Подстановкой каждого из найденных собственных значений в (1.6) легко убедиться, что корню соответствует вектор смещения, направленный вдоль оси [110], т. е. волна является чисто продольной. Корням ) соответствуют поляризации в направлениях и , т. е. волны чисто поперечны. В отличие от случая изотропного твердого тела, скорости поперечных волн в рассматриваемом случае уже не равны друг другу, иными словами, поперечное вырождение снимается. Если формально потребовать равенства скоростей то, как нетрудно видеть, необходимо положить

При этом имеем только два независимых упругих модуля, т. е. переходим к изотропному твердому телу. К условию (2.3) можно прийти и из более простых соображений [4], потребовав, чтобы модули упругости не зависели от поворотов кристалла на любой угол. Это требование выполняется, если представимы в виде , где X и — уже знакомые нам упругие постоянные Ламе. Независимые модули упругости изотропного кубического кристалла выражаются через них в виде

Таким образом, распространение упругих волн в кристаллах описывается относительно просто только для симметричных направлений в кристаллах. В общем случае для произвольного направления

распространения и для кристаллов, менее симметричных, чем кубические, расчет волновых характеристик достаточно громоздок. В настоящее время такие расчеты, тем не менее, проделаны с помощью ЭВМ практически для всех интересных направлений и целых плоскостей кристаллов всех семи сингоний (см. [21). Например, на рис. 9.3 изображены угловые зависимости фазовых скоростей всех трех упругих волн для плоскости (100) кубического кристалла Легко видеть, что характер этих зависимостей, описывающих анизотропию фазовых скоростей упругих волн, отражает симметрию кристалла. В частности, вполне отчетливо заметно, что ось [001 j является осью симметрии четвертого порядка. Направление [1101 на рис. 9.3 соответствует разобранному выше случаю.

Рис. 9.3. Зависимости фазовых скоростей упругих волн для плоскости (100) кубического кристалла

Коснемся теперь некоторых особых направлений распространения упругих волн. Для плоскости (100) кубических кристаллов (рис. 9.3) такими направлениями являются 1010] и [100], для которых скорости поперечных волн равны. По аналогии с кристаллооптикой такие направления называются акустическими осями. Вдоль них, так же как и в изотропном твердом теле, возможно распространение поперечных волн с произвольной поляризацией. Акустическими осями являются, например, оси третьего, четвертого (в том числе и уже упомянутые направления и [100]) и шестого порядка в кубических кристаллах, оси Z (или С) в тетрагональных, гексагональных и тритона льных кристаллах. Кроме того, ими могут быть и несимметричные направления, если соответствующая комбинация упругих модулей такова, что обеспечивается равенство скоростей двух квазипоперечных волн. В процессе проведения акустических экспериментов обычно стараются направлять волны вдоль направлений высокой симметрии, которыми, в частности, могут быть и акустические оси. Это связано с тем, что структуры волн в таких случаях оказываются наиболее простыми. При некоторой разориентации вектора волновой нормали относительно симметричного направления в полной мере начинают проявляться особенности, характерные для анизотропных кристаллов. Например, в случае малых отклонений волнового вектора относительно

Рис. 9.4. Преобразование линейно поляризованной волны в эллиптически поляризованную и затем снова в линейно поляризованную при отклонении вектора волновой нормали от акустической оси.

акустической оси скорости двух сдвиговых волн уже не равны друг другу, и в общем случае задания начальной поляризации, соответствующей возбуждению обеих квазипоперечных волн, возможно существование колебаний с эллиптической и круговой поляризациями [6] (рис. 9.4).