§ 5. Релаксация сдвиговой вязкости в жидкостях

При сдвиговых деформациях вязкой жидкости в ней возникают вязкие напряжения подчиняющиеся закону Ньютона (ньютонова жидкость):

Здесь — изменение угла, т. е. деформация сдвига, — перемещение точки с вертикальной координатой у по направлению оси — изменение скорости v с координатой у. Вспомним, что по закону Гука где . — модуль сдвига. Таким образом, для ньютоновой жидкости напряжения пропорциональны не самой деформации, как это имеет место для твердых тел, а скорости изменения деформации, и, следовательно, сколь угодно малые силы могут вызвать сколь угодно большие деформации, если продолжительность действия силы достаточно велика.

В § 3 гл. 1 рассматривалась задача о гармонических колебаниях погруженной в жидкость плоской стенки (с частотой в своей

плоскости). Выло показано, что внутрь жидкости распространяются вязкие, или сдвиговые, волны, скорость которых поглощение и для которых гармонических колебаниях стенки).

Комплексный вязкий или сдвиговый импеданс такой ньютоновой жидкости определяется выражением

где волновое число для вязких, или сдвиговых, волн, а по . Подставляя значение в (5.2), получаем

Таким образом, для чисто ньютоновой жидкости действительная и мнимая части импеданса ZB совпадают.

Реальные жидкости, однако, далеко не в полной мере являются ньютоновыми жидкостями, т. е. не полностью текучи. Даже такая относительно мало вязкая жидкость, как вода, при приложении к ней резких напряжений (удар быстро двигающимся стержнем по струе воды [31] или попадание в струю пули) становится хрупкой и «раскалывается», т. е. имеет большую упругость формы. С другой стороны, стальной шарик, падающий на кусок вара, упруго отскакивает от него, а если его положить на тот же кусок вара, он медленно в него погружается. Эти простые факты наглядно показывают наличие сдвиговых напряжений даже в маловязких жидкостях и их зависимость от скорости, с какой происходят деформации; с другой стороны, длительные деформации, приложенные к некоторым телам, кажущимся твердыми, приводят к образованию медленного течения.

Измерения на ультразвуковых частотах сдвигового импеданса в ряде вязких жидкостей, растворах полимеров, жидких кристаллах и т. д. и его зависимости от частоты также не дают согласия с представлением об этих жидкостях как о ньютоновых жидкостях, для которых Из экспериментов следует, что при повышении частоты мнимая часть импеданса становится меньше, чем , и, имея на некоторой частоте максимум, при дальнейшем росте со обращается в нуль, т. е. в пределе на высоких частотах импеданс становится действительным, как и в упругой среде.

Впервые Максвелл, занимаясь вязкоупругими свойствами газа, предсказал релаксационный характер сдвигового поведения жидкости. Он предположил, что на низких частотах сдвиговая упругость на фоне текучести почти не играет роли, т. е. что жидкость практически не имеет упругости формы. На высоких частотах, по теории Максвелла, основную роль играет упругость формы, а текучесть имеет меньшее значение. Сейчас можно считать установленным, что скорость, с которой рассасываются (релаксируют) сдвиговые напряжения, возникающие в жидкости под действием внешних сил, на низких частотах пропорциональна величине этих

напряжений

где т — время релаксации. На высоких частотах, когда отклонения от состояния равновесия не успевают происходить,

где — модуль сдвига (чистая упругость) на бесконечно высоких частотах. Максвелл предположил, что имеется аддитивность вязкой и упругой составляющих сдвиговой деформации и что реологическое уравнение, связывающее между собой имеет вид (модель Максвелла)

При гармонических сдвиговых колебаниях из (5.6) получим

т. е. связаны между собой комплексным модулем сдвига при (низкие частоты) поведение жидкости чисто вязкое; при (высокие частоты) -тое — поведение жидкости чисто упругое. Таким образом, возвращаясь к сдвиговому импедансу, найдем, что он будет равен

При , а при диапазоне сдвиг фаз между а и изменяется от на низких частотах до нуля на высоких.

Для более точного описания экспериментальных зависимостей были предложены более сложные реологические связи между , в том числе с несколькими временами релаксации.

Экспериментальные исследования релаксации сдвиговой вязкости в жидкостях не могут проводиться методом пропускания вязких или сдвиговых волн через слой жидкости, который применяется для продольных волн, из-за сильного их поглощения и акустического рассогласования с твердым излучателем и приемником поперечных колебаний.

Впервые Мэзон [321 начал исследования распространения сдвиговых волн в жидкостях, сначала используя крутильные колебания кристалла в жидкости, а затем вместе с Мак-Скимином [33], правильно применив импедансный метод измерения при отражении сдвиговых ультразвуковых волн, распространяющихся в твердом теле, от исследуемой жидкости. Принцип измерения состоит в сравнении амплитуды А и фазы отраженных волн от чистой полированной поверхности буферного (например, кварцевого) стержня, и значениями А и , которые получаются, если нанести на эту поверхность слой исследуемой жидкости, толщина которого из-за сильного поглощения не имеет значения. При использовании импульсного

режима излучения число прохождений сдвиговых волн через буферный стержень стараются иметь возможно большим, чтобы точность измерений была достаточно высокой. Полный комплексный импеданс исследуемой жидкости связан с импедансом кварцевого буферного стержня (линия задержки) выражением

где - модуль коэффициента отражения и — сдвиг фазы, Комплексный импеданс удобно представить через величину Поскольку волновое число для вязких волн

то комплексная скорость находится из выражения

Отсюда характеристическое волновое сопротивление

где

Заметим, что величина D, поскольку максимальное значение (так как разность фаз между меняется от до нуля), меняется в пределах она связана с добротностью выражением Из выражений для импеданса имеем все связи между коэффициентом отражения действительной и мнимой частями , скоростью и поглощением

Рис. 2.5. Схема установки для измерения комплексного импеданса и динамических сдвиговых свойств жидкости по отражению ультразвуковых сдвиговых поли от слоя жидкости.

Следует отметить, что импедансный метод, вообще говоря, осложняется необходимостью проводить измерения весьма незначительных сдвигов фазы при отражении от исследуемой жидкости; при этом, естественно, возникают трудности, связанные с имеющейся нестабильностью сигналов как на акустической стороне, так и в радиотехнических цепях. Заметим, что, применяя дифференциальный метод (используя две идентичные линии задержки), оказывается возможным существенно повысить точность измерений.

Схема установки для измерения этих величин приведена на рис. 2.5. Пьезопреобразователь 1 излучает импульсы сдвиговых волн 2 в кварцевый стержень 3, которые далее отражаются от полированного торца этого стержня, смоченного исследуемой жидкостью 4, и принимаются тем же преобразователем. Вначале установку проверяют на известной жидкости, например воде, которая

до частот Гц не имеет релаксационных свойств и остается ньютоновой жидкостью.

Для проведения указанных измерений требуются очень чувствительные и стабильные приборы. В самом деле, например, на частоте 40 МГц изменения фазы при нанесении на поверхность воды при длине буферного стержня «1,3 см даже для эха составляют около 10 градусов, следовательно, для получения искомых величин ZB с ошибкой порядка 10% нужно обеспечить разрешающую способность всей установки по фазе на одно отражение порядка (полный набег фазы при 50 отражениях градусов). Разрешение по амплитуде должно обеспечивать измерения дБ [33]. Конечно, для более вязких жидкостей, чем вода, требования к точности измерений уменьшаются.

На достаточно низких частотах все жидкости ведут себя как ньютонова жидкость: (отметим, что на этом основан ультразвуковой метод измерения сдвиговой вязкости ).

Уже в первые годы работами Мэзона и Мак-Скимина [32, 33] были обнаружены релаксационные зависимости отличные от ньютоновых, прежде всего в расплавах металлов и полимерах. Они были описаны удовлетворительно для расплавов металлов моделью Максвелла и для полимеров моделью Максвелла с двумя временами релаксации.

Интересные исследования переохлаждающихся органических жидкостей, в которых вязкость в небольшом интервале температур ниже температуры плавления изменяется на несколько порядков, провели Бэрлоу, Лэмб и Матесон [34]. Для этих жидкостей они эмпирически нашли следующую модель:

где

— сдвиговый модуль упругости на частотах . В дальнейшем эта модель была модернизирована. Измерения сдвиговой вязкости проводились ими до частот и в этом диапазоне результаты хорошо согласовались с расчетами.

В 1967 г. И. Л. Фабелинский с сотрудниками ([35], см. также [36]) наблюдали тонкую структуру крыла линии Рэлея в молекулярном рассеянии света в салоле, которая была ими объяснена как результат рассеяния света на сдвиговых тепловых флуктуациях в жидкости; в дальнейших исследованиях это объяснение подтвердилось.

Как в [34], так и в [35] значения определялись из аппроксимации экспериментальных результатов к самым низким температурам, где и определяющей является релаксационная сдвиговая упругость.

Измерения, проведенные для жидкого салола прямыми акустическими методами в диапазоне от 500 до 3000 МГц [36], дали частотные

зависимости качественно описывающиеся моделью Макс велла с двумя временами релаксации.

Как уже говорилось, акустические характеристики сильновязких жидкостей не могут быть объяснены обычной релаксационной теорией с одним временем релаксации. В работе 137] показано, что если считать время релаксации что, однако, никак не согласуется с релаксационной теорией, то результаты расчетов а получаются близкими к экспериментальным результатам, полученным рядом авторов. Следует отметить, что впервые указали на зависимость от частоты как со в сильновязких жидкостях И. Г. Михайлов и С. Б. Гуревич [38, 39]. Эти авторы проводили измерения на продольных волнах в канифоли, вязкость которой изменялась при изменении температуры в определенном интервале температур. Ими была отмечена указанная зависимость а от со.

Для жидкостей с малой вязкостью теоретические соображения предсказывают, что релаксация сдвиговой вязкости может быть связана лишь со структурной перестройкой жидкости и возникает лишь на очень высоких частотах. Для таких жидкостей, как, например, вода, — на частотах не ниже 1011 Гц; однако до сих пор экспериментально релаксации сдвиговой вязкости воды не обнаружено.