§ 4. Нелинейные плоские волны в среде с дисперсией

До сих пор рассматривались плоские нелинейные акустические волны в идеальной недиспергирующей среде и в среде с диссипацией. В акустике дисперсия не играет такой большой роли, как в оптике, в волнах на поверхности жидкости и в волнах в плазме, тем не менее с ней часто приходится встречаться. Так, например, в гл. 2 мы уже имели дело со слабой дисперсией среды, когда рассматривали релаксационные явления. Далее мы познакомимся с другими волновыми системами, где проявляется дисперсия, — жидкость с пузырьками воздуха, квазидисперсия при распространении звука в твердых телах, дисперсия в волноводах и т. д. Естественно, возникает вопрос, какие новые особенности появляются при распространении нелинейных волн в среде с дисперсией.

Рис. 3.7. Теоретическая форма профиля капиллярной волны конечной амплитуды при различных отношениях амплитуды волны к ее длине к [24].

Наглядную картину проявления характерных черт при распространении плоской нелинейной волны в диспергирующей среде можно проследить, изучая капиллярные волны конечной амплитуды на поверхности жидкости [23]. Эти волны, о которых речь шла в гл. 1, имеют скорость распространения , т. е. эти волны диспергирующие. С другой стороны, для таких волн сильно выражены нелинейные явления благодаря нелинейности уравнений движения. Например, на рис. 3.7 показана форма профиля капиллярной волны, полученная теоретически [24] при различных отношениях амплитуды волны а к ее длине к.

Бегущие капиллярные волны легко возбудить в сосуде с водой при помощи легкого (алюминиевого) бойка Б (рис. 3.8) длиной несколько сантиметров (так, чтобы на длине бойка укладывалось с десяток длин волн — для получения плоской волны), имеющего сечение в виде призмы, вершина которой касается поверхности воды.

Рис. 3.8. Блок-схема установки для изучения нелинейных свойств капиллярных волн.

Боек прикрепляется к диффузору небольшого звукового динамика Д, возбуждаемого звуковым генератором ЗГ. Для преобразования капиллярной волны в электрический сигнал можно использовать поляризованный электрод. В воду погружается медная пластинка , а поверхности воды касается тонкая железная проволочка; на проволочку и пластинку подается поляризующее напряжение — несколько вольт от батареи Б. При периодическом погружении проволочки под действием капиллярной волны сопротивление промежутка между электродами изменяется, в результате чего возникает переменное напряжение. Принятый сигнал пропускается через фильтр Ф и усиливается усилителем У. Наблюдение нелинейных эффектов проводится в ближнем поле, когда волну можно считать плоской. Используются частоты 60—300 Гц и амплитуды волн см; однородность волнового поля легко контролировать при помощи стробоскопического освещения. Заметим, что на описанной установке легко проводить точные измерения скорости капиллярных волн по фигурам Лиссажу.

Рис. 3.9. Пространственные осцилляции амплитуды второй гармоники нелинейной капиллярной волны.

На рис. 3.9 показана зависимоть амплитуды второй гармоники (при частоте первой гармоники, равной 80 Гц) от расстояния до источника волны . Видно, что эта амплитуда испытывает пространственные

осцилляции. Отметим, что фазовая скорость второй гармоники, согласно формуле на 26% (в воде) превышает скорость первой гармоники, т. е. дисперсионное число релаксационной теории (гл. 2) дисперсионное число определялось несколько иначе: здесь фазовая скорость основной волны и волны второй гармоники.

Из приведенного примера видно, что именно различие в скоростях первой со и второй гармоник приводит к таким осцилляциям, в отличие от случая среды без дисперсии.

Здесь уже нет синхронизма между основной волной и ее гармониками. По эгой причине и возникают пространственные биения амплитуды второй гармоники которые видны на рис. 3.9. Можно показать [1], что пространственный период этих биений определяется выражением , где (величину называют длиной когерентности).

Таким образом, когда имеется дисперсия, для амплитуды второй гармоники нарастающего решения в пространстве нет. Заметим при этом, что значение полученное экспериментально для капиллярных волн (рис. 3.9), совпадает с указанным теоретическим значением.

Мы уже говорили, что в акустике чаще приходится сталкиваться с более слабой дисперсией, чем в только что рассмотренном примере капиллярных волн. Слабой обычно называют такую дисперсию, влияние которой мало сказывается на изменении формы профиля волны на длине волны X или за период волны Т.

При наличии дисперсии поведение коэффициента нелинейного затухания сильно отличается от случая, когда дислерсии нет. Здесь из-за отсутствия синхронизма между различными гармониками нелинейное затухание уже не проявляется в такой степени, как при отсутствии дисперсии, когда волна из-за накапливания нелинейных эффектов превращается в пилообразную.

Таким образом, в случае распространения плоских нелинейных волн в среде с диссипацией и дисперсией к безразмерным числам М и добавляется дисперсионное число , т. е. теперь уже имеются три безразмерных числа: и D. Поправку к фазовой скорости можно определить из закона дисперсии, который мы запишем в виде

При значение стремится к постоянной величине которая фигурирует в обычном волновом уравнении. Так, например, для гравитационных волн на глубокой воде с (см. гл. 1), а для волн на мелкой воде при где h — глубина водоема. Полное выражение для фазовой скорости имеет вид . Следовательно, при малых

Отсюда следует, что в сопровождающей системе координат, движущейся со скоростью Таким образом, при малых k, учитывая только первый член разложения, закон дисперсии можно записать в виде

где для рассматриваемого случая гравитационных волн эту величину принято называть параметром дисперсии. Для капиллярных волн, для которых с в (4.3) будем иметь знак (отрицательная дисперсия). Поскольку мы рассматриваем малые поправки как нелинейные, так и дисперсионные, можно считать их аддитивными, и для получения правильного закона дисперсии в уравнении простой волны (чтобы получить частоту ) следует добавить член с третьей производной Мы получаем, таким образом, приближенное уравнение, описывающее распространение одномерной нелинейной волны в дисперсионной среде, которое в принятых нами обозначениях имеет вид

Это уравнение впервые было получено в 1895 г. двумя голландскими гидродинамиками Кортевегом и де Вризом [25] (которые вывели его в применении к изучению волн на мелкой воде); по этой причине его принято называть уравнением Кортевега — де Вриза

Интерес к этому уравнению появился вновь после того, как было показано, что оно описывает нелинейные волновые процессы в нелинейной оптике, в плазме, в ряде задач нелинейной акустики. Если, кроме нелинейности и дисперсии играет роль также и диссипация, то тогда уравнение (4.4) дополняется членом, учитывающим затухание волны, и оно переходит в уравнение Кортевега — де Вриза — Бюргерса ):

Как уравнение (4.4), так и (4.5) справедливы при т. е. для сред с малыми нелинейностями, дисперсией и затуханием на длине волны.

Одним из возможных применений уравнения Кортевега — де Вриза — Бюргерса в акустике служит рассмотрение задачи о распространении волны конечной амплитуды в такой слабо диспергирующей среде, как, например, среда с релаксацией. Здесь, однако, в общем случае уравнение имеет более сложный вид, поскольку поглощение в среде с релаксацией уже может не квадратично зависеть от частоты. Мы не имеем здесь возможности заниматься этими интересными вопросами. Отметим лишь, что нелинейное уравнение (4.4), как и уравнение (3.2), имеет точное решение. Есть еще ряд нелинейных

дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих волновые процессы, которые имеют точные решения. Это уравнения для нелинейных стационарных волн огибающей [26], для трехволновых процессов (аналогичные уравнениям Эйлера для движения гироскопа [27]), уравнение синус-Гордона и некоторые другие. Разработан мощный метод решения таких уравнений — метод обратной задачи рассеяния [28], играющий в определенных случаях такую же роль для решения нелинейных уравнений в частных производных для консервативных систем (типа уравнения (4.4)), какую играет метод Фурье при интегрировании линейных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами (см. подробно [29, 30]). Одно из возможных точных стационарных решений нелинейных уравнений для консервативных диспергирующих сред, в том числе (4.4), представляет собой так называемую уединенную волну, или солитон. В настоящее время специфическая волновая механика солитонов достаточно детально разработана [30].

Рис. 3.10. Образование пилообразной волны в среде с дисперсией и распад ее на солитоны.

Одной из интересных и важных особенностей поведения солитонов служит то обстоятельство, что они локализованы в пространстве и, образовавшись, уже не меняют свою форму в нелинейной среде; именно конкуренция нелинейности и дисперсии приводит к возможности сохранения формы солитонов. Солитоны могут образоваться при распространении периодической пилообразной ударной волны в нелинейной среде с дисперсией. Благодаря тому, что пилообразная волна имеет крутой передний фронт, т. е. богата гармониками, из-за дисперсии появляются осцилляции ее формы, возникает тенденция к рассыпанию ее на солитоны.

Так, на рис. 3.10 показан пример распада на солитоны пилообразной волны, образовавшейся в нелинейной среде с дисперсией, приведенный в работе [31]. На рис. 3.10, а показана синусоидальная волна, которая после прохождения расстояния, равного расстоянию образования разрыва изменяет свою форму (3.10, б). Благодаря тому, что волна имеет крутой передний фронт, т. е. богата гармониками, из-за дисперсии начинается ее отличие от «пилы», переходящее к рассыпанию на солитоны. После того как волна проходит расстояние видна уже совокупность отдельных солитонов (рис. 3.10, в); их максимальные амплитуды лежат на одной прямой. Далее траектории солитонов пересекаются, так как солитоны с большей амплитудой движутся быстрее.