§ 2. Вязкая и теплопроводящая жидкость

Переходя к формулировке уравнений гидродинамики вязкой теплопроводящей жидкости в координатах Эйлера, отметим, что уравнение непрерывности для этого случая не изменяется. Уравнение Эйлера переходит в так называемое уравнение Навье — Стокса, в котором учитываются силы вязкости. Это уравнение в векторной форме имеет вид

где - сдвиговая вязкость и — объемная вязкость при объемном расширении (сжатии). При этом здесь считается, что не зависят от координат, а также от давления и температуры, что представляет собой существенную идеализацию.

В вязкой среде тензор плотности потока импульса приобретает вид

где — тензор вязких напряжений, наиболее общий вид которого дается выражением [11

Отметим, что плотность потока импульса вдоль оси х (случай, соответствующий распространению плоской звуковой волны, о чем будет идти речь в § 2 гл. 2), вызванного внутренним трением, будет, согласно (2.2) и (2.3), определяться таким выражением:

    (2.4)

Для несжимаемой жидкости выражение (2.3) упрощается:

Уравнение сохранения импульса (1.21) переходит в уравнение

Если жидкость вязкая, но сжимаемость можно не учитывать, то в уравнении и уравнение Навье—Стокса упрощается, приобретая вид

Вязкости определяют в большинстве случаев основные потери энергии звуковой волны. Как уже упоминалось, величину в (2.6) называют конвективным или нелинейным членом. Соответственно величину называют «вязким» членом.

Естественно, что граничным условием для движения вязкой жидкости вблизи абсолютно твердой стенки будет равенство нулю не только нормальной (как в случае идеальной жидкости), но и тангенциальных компонент скорости, так как частицы вязкой жидкости «прилипают» к стенке.

Система уравнений гидродинамики существенно усложняется, если учитывать еще теплопроводность жидкости. Хорошо известно, что процесс теплопередачи от нагретого тела к движущейся жидкости происходит значительно быстрее, чем в случае неподвижной жидкости. Обычная же теплопроводность покоящейся жидкости представляет собой процесс переноса тепла из более нагретых мест в более холодные. Этот процесс не связан с макроскопическим движением, а представляет собой молекулярный перенос энергии. Вектор

плотности теплового потока q при этом совпадает с направлением нормали к изотермической поверхности в каждой ее точке и определяется уравнением

где — коэффициент теплопроводности. Для вязкой теплопроводящей жидкости энтропия уже не представляет собой неизменную величину. Увеличение энтропии описывается уравнением переноса тепла, учитывающим движение жидкости [1]

Для несжимаемой жидкости, в отсутствие внешних источников тепла, это уравнение упрощается и принимает более простой вид

где — коэффициент температуропроводности. Уравнение переноса тепла содержит дополнительно еще две неизвестные величины s и Т. Таким образом, в системе уравнений вязкой теплопроводящей жидкости будет семь неизвестных. Чтобы замкнуть полученную систему уравнений — уравнений неразрывности, Навье — Стокса и переноса тепла, — следует воспользоваться уравнением сохранения энергии

При этом выражения для энтропии s и внутренней энергии и могут быть получены с учетом свойств среды. Так, например, в случае идеального газа для единицы массы

и мы имеем семь уравнений для восьми неизвестных (к семи неизвестным добавляется ). Восьмым, замыкающим систему уравнений вязкой теплопроводящей жидкости, будет уравнение состояния.

В заключение приведем выражение для возникающего из-за необратимых процессов внутреннего трения (вязкости) и теплопроводности изменения, увеличения) энтропии жидкости, занимающей объем V; оно нам потребуется при рассмотрении вопроса о поглощении звука в жидкости. Это изменение дается выражением, которое следует из уравнения переноса тепла (2.8):

Естественно, что последний член этого уравнения исчезает для несжимаемой жидкости, а во втором члене в правой части обращается в нуль третий член в скобках.