§ 4. Законы подобия. Безразмерные числа в гидродинамике

Представление о наиболее характерных особенностях движения жидкости часто можно получить, не решая задачи, а зная лишь значения величин нескольких безразмерных чисел — специальных комбинаций физических параметров.

Впервые безразмерные числа были введены при рассмотрении вопроса о подобии течений. В гидродинамике часто приходится проводить эксперименты с моделями и потом уже полученные данные переносить на реальные тела. Простые рассуждения, основывающиеся на уравнениях движения для описания двух течений с различными гидродинамическими параметрами, приводят к тому, что для вязкой несжимаемой жидкости, когда отсутствуют внешние силы, а также внешние поверхности, два течения подобны, если, кроме кинематического подобия (т. е. геометрического подобия и подобия поля скоростей), для этих течений равны числа Рейнольдса. Число Рейнольдса (где I — характерный масштаб движения, например радиус трубы при движении в ней жидкости, v — скорость потока и v — кинематическая вязкость) играет очень большую роль в гидродинамике и акустике, и далее нам часто придется иметь с ним дело. Если необходимо учитывать наличие внешних сил, например силы тяжести, то в добавление к числу оказывается необходимым ввести также еще число Фруда и тогда два течения подобны, когда, кроме кинематического подобия, числа обоих течений равны. При учете сжимаемости жидкости в рассмотрение необходимо включить еще число Маха где с — скорость звука в жидкости. Если учитывается теплопроводность жидкости, появляется безразмерное число Прандтля представляющее собой материальную константу среды, не зависящую от свойств потока.

К необходимости введения этих чисел можно также прийти, если провести оценку различных членов в уравнениях движения и переноса тепла. Так, число получится, если взять отношение конвективного (нелинейного) члена в к члену, характеризующему вязкость

Число получится, если взять отношение» конвективного члена в уравнении (2.6) к члену, характеризующему внешнюю силу например силу тяжести, которая на единицу массы равна просто ускорению свободного падения

Если воспользоваться уравнением переноса тепла (2.9) и взять отношение теплового конвективного члена к члену, характеризующему теплопроводность жидкости (газа) то получим число Пекле

равное произведению числа Рейнольдса на число Прандтля. Здесь

Нас в дальнейшем будут интересовать акустические волновые процессы, поэтому оценим по порядку величины отдельные члены в уравнениях Навье — Стокса для акустических колебаний в жидкости. В этом случае характерным масштабом длины, на которой могут происходить заметные изменения гидродинамических параметров, будет, очевидно, длина волны А; характерным масштабом времени — период звуковой волны (со — частота звука); характерной гидродинамической скоростью — колебательная, или акустическая скорость V. Тогда

Как видим, это отношение представляет собой число Рейнольдса для акустического случая (так называемое акустическое число Рейнольдса). Когда становятся существенными акустические нелинейные процессы, а при основными являются диссипативные процессы; об этом подробно говорится в гл. 3.

Число записывают также в виде , где — акустическое (избыточное) давление диссипативный член; это выражение, справедливое для плоской акустической волны, получается из (4.4), если воспользоваться основным соотношением для плоской звуковой волны (§ 1 гл. 2).

Отношение к инерционному члену в (2.6) —

есть акустическое число Маха, которое уже было введено выше. Отметим, что в акустике даже для самых мощных звуковых волн число Маха не превышает значений (газы, жидкости), и при средних амплитудах смещений число Число Маха в акустических задачах всегда считается малым параметром.

Возвращаясь к процессам теплообмена, характеризуемым числом Прандтля напомним, что это число представляет собой материальную постоянную. Так, для газов число мало отличается от единицы (для воздуха ), для жидкостей же это различие может быть существенным. Например, для воды при обычных условиях а для ртути Согласно (4.3), (3.10) и (3.14) число может быть записано как отношение квадрата длины вязкой волны к квадрату длины тепловой волны:

Поскольку, как было сказано выше, для воздуха (и газов) то . Для воды и для ртути .