§ 5. Взаимодействие звуковых волн с тепловыми фононами. Макроскопическое рассмотрение. Высокие (комнатные) температуры и ультразвуковые частоты

Содержание § 4 относилось к высоким гиперзвуковым частотам ( Гц) и низким температурам; поглощение звука рассматривалось как результат непосредственного взаимодействия звукового и теплового фононов.

Как подойти к решению задачи о нахождении а и для другого крайнего случая — низких ультразвуковых частот и высоких температур (для большинства веществ это температуры , т. е. когда выполняется неравенство . Решение этой задачи впервые было получено А. И. Ахиезером [31.

Рассмотрение здесь основано на использовании кинетического уравнения Больцмана для газа фононов. Фононный газ в идеальном

диэлектрике находится в состоянии термодинамического равновесия, и распределение фононов по энергиям представляет собой распределение Бозе — Эйнштейна. Звуковая волна рассматривается как внешняя вынуждающая сила, действующая на систему тепловых фононов и нарушающая ее термодинамическое равновесие; связь между этой силой и системой фононов осуществляется через зависимость частоты тепловых фононов от переменной (происходящей с частотой звука) деформации, вызываемой звуком. В результате переменной деформации система тепловых фононов выводится из состояния равновесия и стремится далее вернуться к этому состоянию за счет столкновений между тепловыми фононами; действует механизм релаксации. Как при всяком релаксационном процессе, сопровождающем распространение звука, возникает поглощение звука и его дисперсия. Таким образом, здесь, как и при рассмотрении в § 4 случая происходит взаимодействие звукового фонона с тепловым фононом, но не непосредственно, а со всем ансамблем тепловых фононов; последние же взаимодействуют между собой, уменьшая отклонение от термодинамического равновесия, вызванного звуком.

Для того чтобы, основываясь на этой идее, провести расчет коэффициента поглощения звука (подробно см. [9, 101), нужно найти связь между напряжениями, деформациями и мгновенным числом тепловых фононов моды Эту связь можно найти следующим образом: запишем энергию фононов в единичном объеме (V — объем всего кристалла) в виде

Определим нулевую деформацию как состояние кристалла, в котором отсутствуют внутренние напряжения а распределение фононов моды описывается равновесной планковской функцией . Таким образом, если

и , то . Здесь — энергия нулевых колебаний решетки при абсолютном нуле температуры, — частота тепловых фононов с волновым вектором k и индексом поляризации .

Тензор напряжений определяется (см. (8.1.8)) соотношением

где — механическая потенциальная энергия, зависящая от деформации, которую запишем в виде

Согласно (5.2) имеем

где мы пренебрегли второй производной от (о по компонентам тензора деформации; заметим, что производные берутся при . Из (5.4) следует тогда, что

Теперь (5.4) запишется в виде

Величину (неравновесную добавку) обозначим через . Мы получили искомую связь между тензором напряжений, деформациями и величиной — отклонением в распределении фононов от его равновесного значения.

Теперь пустим через нашу фононную систему звук. Для смещения в звуковой волне уравнения движения запишутся в виде (§ 1 гл. 8)

В (5.6) тензор деформации определим в пренебрежении квадратичным членом (см. (8.1.1)), т. е.

Будем искать решение системы уравнений (5.6) — (5.8) в виде плоской гармонической волны

где — компоненты вектора поляризации; не зависят от t и х.

Подставляя (5.9) и (5.10) в указанную систему уравнений, составляя детерминант при коэффициентах поляризации и приравнивая его нулю, можно найти О. Находя же мнимую часть волнового числа

получим (индекс у k здесь означает декартову компоненту)

а также поправку к скорости звука которую мы здесь не приводим [9].

Имея в виду определение коэффициента и тензора Грюнайзена по (4.9), выражение (5.12) запишем в виде

Таким образом, задача нахождения а состоит теперь в том, чтобы найти неравновесную добавку возникающую под действием звука. Для этого можно воспользоваться кинетическим уравнением Больцмана. Это уравнение для неравновесной функции распределения применительно к нашей фононной системе имеет вид

— скорость фонона (групповая скорость); так называемый интеграл столкновений, определяющий изменение вследствие взаимодействия частиц друг с другом; означает изменение функции распределения из-за прихода и ухода частиц в элемент объема в результате движения частиц, а третий член в левой части (5.14) — в результате действия внешней силы.

С учетом (5.9) и (5.10) уравнение (5.14) сводится к выражению

где Q мы заменили на считая возникающую поправку к частоте звука малой и полагая, что фононы не меняют своей поляризации.

Можно показать, что если в уравнении Больцмана отбросить столкновительный член, то звуковая волна не будет испытывать поглощения и как и должно быть.

В рассматриваемом случае как показано в ряде теоретических работ, в бездефектных диэлектриках основной вклад в поглощение звука вносят -процессы. Если — среднее время между -процессами удовлетворяет неравенству но имеет конечное значение (случай не приводит к поглощению звука — процесс настолько медленный, что восстановление равновесия полностью следует за изменением деформации в волне), то вычисление а можно на основе уравнения (5.15) провести следующим образом. Это можно сделать (формальное решение) путем разложения функции распределения фононов в ряд по собственным функциям интеграла столкновений [37, 38]; этот метод не требует каких-либо предположений о форме интеграла столкновений в уравнении Больцмана.

Другой путь решения задачи состоит в принятии упрощающих предположений при расчете интеграла столкновений [39]. При

При конечном, но предполагается, что релаксирует к (5.16) и, таким образом,

где не зависит от

Полагая

и подставляя это значение локальной температуры с использованием (5.17) в уравнение Больцмана (5.15), получаем для добавки к неравновесному распределению выражение

Используя теперь выражение (5.13) для а, а также выражение для удельной теплоемкости единицы объема

получим в первом приближении по

Полученная формула состоит, как и (2.10), из двух членов: первый характеризует потери на внутреннее трение, а второй — потери на теплопроводность. Обратим внимание на то, что коэффициент поглощения из-за потерь на внутреннее трение пропорционален квадрату частоты звука, квадрату параметра ангармоничности (коэффициент Грюнайзена) и температуре Т. Второй член пропорционален и зависит от k и групповой скорости V. Заметим, что поскольку то а оказывается не зависящим от температуры, что подтверждается экспериментально [6].

Как в этом, так и в предыдущем параграфах были даны основные представления о теории решеточного поглощения звука в чистых или идеальных диэлектриках, т. е. в диэлектриках без дислокаций, без примесей и точечных дефектов в виде вакансий и внедрений. Это поглощение, как мы видели, вызывается ангармоничностью решетки и объясняется при трехфонноным взаимодействием (механизм Ландау — Румера) - при поглощение объясняется механизмом Ахиезера. Здесь следует подчеркнуть два обстоятельства. С одной стороны, важен вопрос о том, каково взаимоотношение этих двух теорий и как должна видоизменяться теория поглощения звука для случая т. е. для промежуточного случая. Другой вопрос — это вопрос о том, как определяется а для реальных диэлектрических кристаллов, имеющих примеси или точечные дефекты. Оба эти вопроса являются предметом пристального внимания как теоретиков, так и экспериментаторов.

Остановимся сначала на первом из них. В [40] было показано, что и для оказывается возможным применение метода кинетического уравнения Больцмана, хотя, как об этом говорилось в

начале параграфа, этот метод имеет пределы применимости при выполнении условия . Полученное кинетическим методом выражение для а совпало с результатом, вытекающим из применения метода трехфононного взаимодействия. В дальнейшем оказалось, что точка зрения ряда авторов на то, что два подхода для двух предельных случаев не могут быть едиными, требует уточнения. Выяснилось, что условия которые определяют применимость кинетического уравнения, можно смягчить и тем самым снять ограничение на величину . Если выполняется неравенство , что имеет место всегда (по крайней мере при существующих экспериментальных возможностях) для случая монохроматического дуга звуковых волн, поскольку Гц, а , то поглощение а при любых можно рассматривать на основе кинетического уравнения, если учесть, что функция распределения кроме зависимости от имеет также зависимость от координат . Можно показать [41], что при любых поглощение звука описывается единым выражением типа ахиезеровского, но с резонансным знаменателем: резонансные слагаемые при соответствуют переходам Ландау — Румера. В промежуточной области дело обстоит сложнее — ни тот, ни другой механизм по отдельности не определяют поглощения звука, так что зависимости а от Т и должны определяться из анализа общего выражения для а.

Сделаем несколько замечаний по второму вопросу — о роли примесей и точечных дефектов в диэлектрических кристаллах в поглощении звука. Это тем более важно, так как на практике приходится иметь дело с реальными кристаллами, почти всегда содержащими большое количество дефектов структуры. В этом случае картина по сравнению с «матрицей» (идеальным кристаллом) существенно усложняется.

Под словом «примесь» мы будем понимать просто дефект массы, т. е. ограничимся рассмотрением простых примесей замещения, не содержащих внутренних степеней свободы. Короче говоря, обсудим лишь изотопическую модель дефекта, считая изменение силовых постоянных незначительным. Обычно в теории превалирует именно такая постановка задачи, либо малое изменение силовых постоянных учитывается в рамках теории возмущений.

Хорошо известно, что внедрение примесей в кристаллическую решетку может привести к значительному изменению колебательных свойств кристалла [17]. Наличие примесей сказывается как на спектральных характеристиках, так и на характеристиках рассеяния квазичастиц. В том случае, когда концентрация примесей невелика, а массы примесных атомов отличаются от массы атомов решетки незначительно (так, что не возникают локальные и квазилокальные колебания), то можно считать, что фононный спектр примесного кристалла в целом подобен спектру матрицы. Тогда фононные состояния хорошо определены и их можно характеризовать соответствующим образом перенормированным законом дисперсии

и конечным временем жизни. Как правило, в этом случае можно ограничиться лишь исследованием характеристик рассеяния в системе фононов, поскольку незначительная перенормировка в спектре не приводит к существенным эффектам.

В рамках указанной модели вопрос о поглощении акустических волн в примесных кристаллах исследовался в ряде теоретических и экспериментальных работ [41—49]. Был выявлен ряд качественно новых по сравнению с матрицей особенностей в поглощении звука в примесных кристаллах.

Во-первых, при внедрении примесей определенного сорта коэффициент поглощения уменьшается по сравнению с матрицей. Во-вторых, поглощение продольных и поперечных акустических волн существенно по-разному реагирует на наличие примесей в кристаллах. В-третьих, появляется ряд специфических зависимостей на частотных и температурных характеристиках коэффициента поглощения, причем разных для продольного и поперечного звука.

Наличие примесей сказывается на поглощении акустических волн двояким образом. Во-первых, примеси непосредственно рассеивают звуковую волну; во-вторых, они рассеивают тепловые фононы и тем самым изменяют их вклад в поглощение звука [43]. Если первый эффект незначителен, то второй оказывается существенным, если фононы чаще рассеиваются на примесях, нежели друг на друге. Как мы уже знаем, в соответствии с теорией Ахиезера , где х — некоторое среднее время жизни фононов. Тогда, казалось бы, коэффициент поглощения должен уменьшаться при внедрении примесей, так как это уменьшило бы время жизни фононов. Действительно, если время релаксации фононов в матрице , а время релаксации фононов при рассеянии на примесях , то в соответствии с правилом Маттиссена (см. [19]) полное время будет иметь вид

Следовательно, при увеличении концентрации примесей поглощение должно уменьшаться и в пределе . Однако было показано [44], что роль примесей не сводится только к появлению дополнительного канала рассеяния тепловых фононов и что такая простая трактовка ведет к противоречию с экспериментальными результатами. А именно: для проверки столь интересного факта, как уменьшение поглощения, в работе [47] было исследовано поглощение продольного звука частоты 649 МГц в германий-кремниевом сплаве при 300 К. Для направления распространения [100] поглощение в было только на 13% меньше, чем в чистом кремнии. Изменение в х может быть определено независимо по измерению теплопроводности х при использовании приближенного выражения Теплопроводность сплава была в 8,5 раза меньше, чем в чистом кремнии, и, таким образом, , определенное этим методом, явно не подходило для объяснения ультразвуковых экспериментов.

Для объяснения этих разногласий в работе [44] был рассмотрен вопрос о поглощении акустических волн в кристалле, содержащем столь большое количество примесей, что выполнялось условие: Оказалось, что в этом случае поглощение продольного звука вовсе не зависит от Физической основой для этого результата послужили следующие соображения.

Так как рассеяние фононов на примесях является почти упругим, то оно само по себе не в состоянии привести систему фононов к полному термодинамическому равновесию, после того как она была возмущена звуковой волной. Таким образом, когда выполнено условие мы можем рассматривать релаксацию фононов к состоянию термодинамического равновесия в два этапа.

1. Группы фононов, принадлежащие одной изоэнергетической поверхности, приходят к взаимному равновесию за время

2. Эти различные группы фононов приходят в равновесие за время завершая восстановление полного термодинамического равновесия.

Поскольку первый этап происходит очень быстро основной вклад в поглощение продольного звука дает второй этап, и, таким образом, поглощение не зависит от

Так как поперечный звук не изменяет полной энергии фононной системы, то для того, чтобы система пришла в равновесие, достаточно только упругих процессов, т. е. первого этапа.

Таким образом, основной вывод заключается в том, что продольные волны относительно нечувствительны к наличию примесей в кристалле (возможные вариации коэффициента поглощения звука связаны с перенормировкой упругих модулей и плотности кристалла), в то время как для поперечного звука при . Отметим, что, как замечено в [24], этот вывод справедлив в тех случаях, когда времена фонон-фононной релаксации изменяются слабо при внедрении примесей. Однако это не всегда так. Экспериментальные результаты [49] свидетельствуют о том, что сильно зависит от концентрации примесей. В этом случае неоправданным будет вывод об относительной нечувствительности поглощения продольных волн к наличию примесей в кристалле.

Таким образом, можно считать, что основные качественные особенности поглощения акустических волн в примесных диэлектрических кристаллах, наблюдаемые в ряде экспериментов, находят объяснение в рамках сравнительно простых теоретических моделей. Однако так обстоит дело в случае кристаллов достаточно простой структуры. Действительно, все перечисленные работы относятся, по существу, к кристаллам с простой элементарной ячейкой. Дело в том, что непосредственное взаимодействие акустической волны с оптическими фононами, как правило, детально не анализируется, хотя обобщение, например, теории Ахиезера на этот случай известно [9]. В сравнительно простых кристаллах ролью оптических фононов в поглощении звука действительно можно пренебречь даже в области температур, где заселенности оптических мод немалы. Это связано с тем, что времена релаксации для оптических фононов

в идеальных кристаллах меньше соответствующих времен для акустических фононов, и они не вносят сколько-нибудь существенного вклада в поглощение; нарушение равновесия в системе оптических фононов, возникающее при прохождении звуковой волны, невелико.

Все же иногда влияние оптических фононов следует учитывать. Так, в работе [23] предполагается, что наличие ряда низколежащих оптических ветвей в рутиле является причиной интенсивного взаимодействия между акустическими и оптическими фононами, что приводит к эффективной релаксации фононного распределения в системе акустических фононов и сравнительно малой величине коэффициента поглощения звука в рутиле. Таким образом, оптическим фононам отводится роль дополнительного канала релаксации активных в поглощении звука акустических фононов. Прямое поглощение звука из-за взаимодействия с системой оптических фононов при этом не учитывается.

Однако, как показано в 124], существуют кристаллы, в которых, по-видимому, в широкой области температур, за исключением самых низких, непосредственным взаимодействием исходной акустической волны с оптическими фононами пренебрегать нельзя. К таким кристаллам следует отнести сложные кристаллы с большим количеством атомов на элементарную ячейку, например кристаллы типа алюмоиттриевого граната атомов в элементарной ячейке). Наличие большого количества низколежащих оптических ветвей приводит к резкому возрастанию плотности колебательных состояний кристалла, начиная с энергий, соответствующих оптическим фононам. Вероятно, уже при температурах жидкого азота непосредственное влияние оптических фононов на поглощение звука в таких кристаллах должно быть значительным, а при более высоких температурах и доминирующим. Практически этот вопрос, которому посвящена работа [24], является важным, открывая пути для поиска кристаллов с малым а при комнатных температурах.