Глава 4. ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ АНТЕННЫ

§ 1. Взаимодействие нелинейных волн

Вернемся снова к плоским нелинейным волнам в средах без дисперсии и рассмотрим случаи, когда в среде распространяется не одна, а несколько таких волн. Но прежде отметим следующий важный факт: нелинейное взаимодействие плоских волн конечной амплитуды в средах без дисперсии происходит эффективно лишь в том случае, когда эти волны распространяются в одном и том же направлении, т. е. коллинеарно.

Рис. 4.1. Условия синхронизма для трехволнового взаимодействия: а)

Прийти к такому выводу проще всего, если рассмотреть трехволновое взаимодействие: две волны с частотами и и волновыми числами рождают третью волну где — соответствующие скорости этих трех волн. На квантовомеханическом языке можно представить плоские волны как фононы с энергиями и квазиимпульсами . В случае слияния двух фононов образуется результирующий фонон это рождение второй гармоники). Хотя понятие фонона как кванта упругой энергии возникло в применении к твердым телам (кристаллам), его можно использовать также применительно к жидкостям и газам.

На рис. 4.1 представлено такое взаимодействие, при котором должны быть выполнены условия сохранения энергии и квазиимпульса фононов (так называемые условия синхронизма для трехволнового взаимодействия)

Из приведенного геометрического построения следует, что

Для недиспергирующей среды и это равенство может быть выполнено лишь при условии , т. е. если все три волны коллинеарны. Подчеркнем, что этот вывод относится только к плоским волнам, но отнюдь не к ограниченным пучкам, когда могут играть роль дифракционные эффекты.

Итак, рассмотрим взаимодействие двух квазипростых волн, распространяющихся в одном и том же направлении Приведем сначала формулу (с точностью до второго приближения), часто применяющуюся в экспериментальных исследованиях, для случая, когда при х=0 излучаются две плоские волны разных частот и амплитуд

Видно, что, кроме вторых гармоник возникают суммарные и разностные комбинационные частоты. В действительности, конечно, возникают гармоники и комбинационные частоты и более высоких порядков. Их можно описать, решив задачу более точно.

Рассмотрим теперь подробнее процесс генерации разностной частоты при взаимодействии двух гармонических волн в диссипативной среде; пусть

Проанализируем вначале случай, когда и можно пользоваться методом последовательных приближений. Тогда, полагая получим решение уравнения первого приближения (3.3.5) для v в виде

Подставляя значение когда v определяется по (1.4), в уравнение Бюргерса (3.3.2) и сохраняя в нелинейном члене составляющие только с разностной частотой получим уравнение

Решение этого уравнения для с граничным условием при будет

Видно, что при малых амплитуда растет пропорционально х и достигает максимума при

после чего она начинает убывать,

При можно не учитывать диссипативных процессов и решение для дается формулой (1.3); при этом член, содержащий принимает вид

Подобным же образом можно решить задачу о распространении амплитудно-модулирова иного гармонического сигнала конечной амплитуды ([1], с. 104)

где — коэффициент модуляции. Волна с частотой со взаимодействует с боковыми частотами и возникает, в частности, волна разностной частоты .

Рассмотренные задачи о взаимодействии волн играют важную роль в теории параметрической нелинейной антенны, о которой речь будет идти дальше.

К числу интересных проблем относится также задача о коллинеарном взаимодействии слабого монохроматического сигнала с интенсивной волной; эта волна может быть гармонической, но может представлять собой и интенсивный шум. В работах [1—4] показано, что такое взаимодействие в среде без дисперсии может быть причиной дополнительного затухания звукового сигнала (поглощения звука звуком).

Проанализируем этот процесс более детально. Рассмотрим при помощи уравнения Бюргерса взаимодействие двух плоских коллинеарных волн, когда они задаются на входе в нелинейную среду в виде

где через обозначены величины . Эти волны взаимодействуют между собой в процессе распространения и рождают целый спектр комбинационных частот — суммарные и разностные частоты, гармоники частот и т. д. На первом этапе исследования следует ограничиться изучением динамики амплитуд волн только основных частот а также суммарной и разностной частот. При этом наиболее простые аналитические результаты, дающие согласие с экспериментами, можно получить уже в рамках трехчастотного приближения. Четырехчастотное приближение решения уравнения Бюргерса, естественно, дает более точные результаты. Его можно искать в виде

где — комплексные амплитуды, изменяющиеся по мере распространения волн в среде и а граничное условие задается выражением (1.10). Здесь — действительные амплитуды и фазы.

Рассмотрим случай, когда — слабая высокочастотная гармоническая волна; мощная монохроматическая низкочастотная волна

имеет частоту так что . Задачу можно решать в приближении заданного поля, считая, что

Расчеты предсказывают характерные осцилляции амплитуд волн основной и комбинационной частот с расстоянием, что является результатом интенсивного обмена энергией между волнами. Период этих пространственных осцилляций L или расстояние между двумя последовательными минимумами амплитуд может быть оценено с помощью результатов, полученных в четырехчастотном приближении. Наиболее просто выражение для L получается при . В этом случае

что хорошо согласуется с результатами численного решения.

Амплитуда слабого высокочастотного сигнала благодаря взаимодействию с интенсивной низкочастотной волной испытывает значительное дополнительное затухание. Характерно, что зависимость от начального сдвига фаз появляется только при условии .

Рис. 4.2. Блок-схема установки по исследованию взаимодействия слабого высокочастотного ультразвукового сигнала (12 МГц) с интенсивными низкочастотными возмущениями (1 МГц и шумом в полосе 600 кГц - 2 МГц).

На рис. 4.2 представлена блок-схема установки по исследованию колли-неарного взаимодействия слабого ультразвукового сигнала (12 МГц, ) с интенсивными низкочастотными возмущениями в воде [5]. В качестве последних использовался низкочастотный непрерывный сигнал частоты 1 МГц и интенсивностью порядка или интенсивный шум в полосе с интенсивностью порядка что соответствует среднеквадратичному значению колебательной скорости

В кювете с водой I размещался низкочастотный пьезокерамический излучатель 2 и высокочастотный излучатель 3 (пластинка кварца Х-среза). Излучатель 2 возбуждается или с помощью низкочастотного генератора синусоидальных сигналов 5 или с помощью мощного генератора шума. Излучатель 3 возбуждался генератором синусоидальных сигналов 7, Все измерения проводились в импульсном режиме. Модулятор 6 с регулируемой временной задержкой обеспечивал задержку высокочастотного импульса на время, необходимое для прохождения низкочастотным акустическим сигналом от преобразователя 2 до преобразователя 3.

Различные частотные компоненты спектра принятого сигнала изучались с помощью спектр-анализатора 9, на который подавался сигнал, принятый плоским кварцевым преобразователем 4. Для

выделения акустического сигнала из серии принятых импульсов было применено стробирующее устройство 10.

Акустическая «ловушка», установленная в конце кюветы, исключала появление сигналов, отраженных от ее стенок. С целью предотвращения перегрузки входных усилительных каскадов мощным низкочастотным сигналом, а также для повышения чувствительности приемной аппаратуры были использованы электрические фильтры.

На рис. 4.3 изображены графики изменения с расстоянием амплитуды волны 12 МГц с начальным значением колебательной скорости в случае ее взаимодействия с мощной волной 1 МГц, амплитуда колебательной скорости которой Кривая 1 соответствует затуханию волны 12 МГц в отсутствие мощной волны 1 МГц, кривая - при ее наличии (непрерывные линии — теория, соответствующие точки 2 и -эксперимент). Заметим, что благодаря хорошему совпадению формулы (1.12) с экспериментом можно определять нелинейный параметр жидкости , производя измерения

Рис. 4.3. Пространственные осцилляции высокочастотного слабого сигнала в отсутствие взаимодействия (1, 2) и при взаимодействии (3, 4) с мощной волной

Подобного рода эксперименты по поглощению звука звуком в морских условиях на расстояниях порядка и частотах (коллинеарное распространение) выполнены в [6], где получены аналогичные результаты.

Мы показали, что в отсутствие дисперсии плоские волны взаимодействуют лишь при их коллинеарном распространении. В связи с этим возникает вопрос: может ли происходить процесс рассеяния звука на звуке, или, точнее, комбинационного рассеяния звука.

Под таким нелинейным рассеянием принято понимать возникновение акустического поля комбинационных частот при пересечении двух ограниченных пучков с частотами волн вне их области взаимодействия (естественно, что в самой области пересечения взаимодействие будет происходить). Такое рассеяние может иметь место, если размер области пересечения достаточен для того, чтобы в этой области возникла комбинационная волна С другой стороны, этот размер должен быть не слишком велик по сравнению с длиной волны комбинационной частоты, чтобы возникала дифракция комбинационной волны из области пересечения пучков. Задача о комбинационном рассеянии звука на звукё привлекала внимание

многих исследователей. Теория и эксперименты по рассеянию звука на звуке в жидкости рассматривались в работах [1, 7-11]. Этот эффект достаточно мал, и экспериментально его трудно исследовать. Сложно, например, отделить именно этот тип рассеяния, связанный с дифракцией комбинационной волны, от возможных компонент поля (с теми же комбинационными частотами), которые в эксперименте возникают из-за наличия лепестков у характеристик направленности излучателей частот При пересечении лепестков могут появиться коллинеарные компоненты полей , что приведет к эффективной генерации комбинационных частот. Кроме того, такие частоты возникают при модуляции, когда лепестки попадают на колеблющиеся излучатели; имеются и другие сложности проведения такого рода экспериментов.

Если среда обладает дисперсионными свойствами, условие синхронизма (1.2) может выполняться и при углах а, отличных от нуля, и нелинейное рассеяние звука может происходить не только из-за рассмотренного качественно дифракционного эффекта для комбинационных волн. Такое рассеяние звука на звуке может иметь место в релаксирующей среде, где имеется дисперсия; теоретически этот вопрос рассмотрен в книге [1], с. 124.

Как мы увидим в гл. 10, 11, в твердых телах, благодаря различию в скоростях продольных и поперечных волн («квазидисперсия»), комбинационное рассеяние звука на звуке наблюдается экспериментально и при косых взаимодействиях, поскольку и при условие синхронизма (1.2) будет выполнено.