§ 2. Поглощение звука в изотропных диэлектриках

Рассмотрим задачу о нахождении коэффициента поглощения звука а в изотропном диэлектрике. Задача эта решается аналогично тому, как она решалась в гл. 2, когда речь шла о нахождении а для плоской гармонической волны, распространяющейся в газе или жидкости (см. вывод формулы (2.2.12)). Удобнее это сделать, пользуясь определением коэффициента поглощения согласно (2.2.3): . Для Е имеем

где при рассмотрении гармонической продольной волны — смещения в такой волне, распространяющейся по направлению оси х.

При этом уже из простых соображений ясно, что коэффициенты поглощения для продольных а; и поперечных волн должны различаться. Действительно, в продольной волне, как указывалось в § 2 гл. 2, деформация представляет собой комбинацию изотропного сжатия и сдвига, тогда как в поперечной волне деформация состоит из чистого сдвига. В соответствии с этим в продольной волне, кроме

поглощения за счет вязкости или внутреннего трения, может происходить выравнивание температуры между областями сжатия и разрежения. Следовательно, к потерям на внутреннее трение должны добавляться потери на теплопроводность. Таким образом, коэффициент поглощения будет функцией тогда как должен быть функцией только . Для нахождения а; по формуле (2.2.3) заметим, что, согласно термодинамике,

и, принимая во внимание (1.2.12) и (2.2), а также то, что мы рассматриваем изотропное твердое тело, имеем

Теперь следует найти градиент изменения температуры в звуковой волне. Условие адиабатичности при распространении звука состоит в том, что с точностью до членов первого порядка по тензору деформации

где — некоторая заданная температура, а тело находится при температуре Т, мало отличающейся от — коэффициент теплового расширения. Это выражение получается, если во внутренней энергии тела, согласно (8.1.10), учесть еще член рассматривая деформацию тела с учетом изменения температуры. В (2.4) величина К — модуль объемного или всестороннего сжатия (модуль объемной упругости), связанной со сжимаемостью соотношением

При малой разности температур между участками сжатия и разрежения можно разложить в ряд по этой разности. С точностью до членов первого порядка малости имеем

откуда

Так как скорость продольных волн определяется формулой (см. гл. 8) , откуда

то

Можно показать [1], что адиабатическое К и изотермическое значения модуля всестороннего сжатия, связанные соотношением

мало отличаются друг от друга, и это различие мы далее часто принимать во внимание не будем, если не будет сделано специальных

оговорок. Поэтому для твердых диэлектриков Определив , можно теперь вычислить первый член в выражении (2.2), в котором

Теперь, пользуясь выражением для и проводя усреднение за период звука, находим, согласно (2.1), Е, а по (2.9) и (2.3) определяем . В результате этих вычислений получаем, что

Для поперечных волн, распространение которых происходит по оси смещения в волне будут и в тензоре деформации ыгйне равными нулю будут компоненты

    (2.11)

Вычисления дают для коэффициента поглощения поперечных волн

Подобное рассмотрение можно провести и для анизотропного кристаллического диэлектрика [10].

Проведем теперь обсуждение полученных формул для . В гл. 2 мы отмечали, что формула для а (2.2.12) хорошо подтверждается в эксперименте как для жидкостей, так и для газов с соответствующими для них значениями коэффициентов и значениями других параметров, входящих в эту формулу. При наличии релаксационных процессов теория также удовлетворительно описывает экспериментальные данные, по крайней мере для случая одного времени релаксации.

Не так обстоит дело в акустике твердых тел. Даже для изотропных диэлектриков формулы для далеко не всегда находятся в согласии с. экспериментом. Не подтверждается в большом числе случаев и квадратичная зависимость а от частоты, следующая из полученных формул; на высоких звуковых частотах в ряде диэлектриков наблюдается линейная зависимость а от частоты . На низких звуковых частотах зависимость от Q вообще может отсутствовать. При низких температурах наблюдаются особенности в поведении а, о которых будет идти речь в § 4. Тем более осторожно следует применять формулы (2.10) и (2.12) для твердых тел — недиэлектриков. Все эти отклонения от изложенной теории в поведении а объясняются, с одной стороны, чрезвычайно большим разнообразием исследуемых образцов твердых тел (диэлектрики, металлы, полупроводники, кристаллы и аморфные тела), с другой стороны — их предысторией, методом получения (ковка, плавление, кристаллизация), наличием в кристаллах примесей, дислокаций и дефектов, сложного состава (например, сплавы металлов) и т. д. Кроме того, в формулы (2.10) и (2.12) входят значения величин вязкостей

которые нельзя измерить так просто, как для газов и жидкостей. В таблицах физических величин (см., например, для твердых тел вообще не приводятся; имеются лишь данные по внутреннему трению. В принципе существует связь между внутренним трением и вязкостью. Однако многие авторы в понятие внутреннего трения включают различного рода потери, которые к определению вязкости не имеют прямого отношения. Например, при измерениях внутреннего трения в образцах твердых тел резонансным методом иногда используют общее понятие добротности Q, с которым мы имели дело в гл. 2 и 6, когда занимались колебаниями пузырьков.

В заключение этого параграфа кратко остановимся на поглощении рэлеевских поверхностных волн [16]. Поскольку структура рэлеевской волны (см. гл. 8) представляет собой комбинацию волновых фронтов продольной и поперечной неоднородных волн, то волновые числа в упругой среде с малыми потерями на длине волны можно записать в виде

где — малые вещественные поправки, численно равные деленным на коэффициентам затухания на длине волны. Подставляя значения в характеристическое уравнение Рэлея (8.4.3) и приравнивая нулю действительную и мнимую части, можно получить выражение для коэффициента поглощения рэлеевской волны выраженное комбинацией которое мы здесь не приводим (см. [16]). Отметим только, что, как правило, оказывается при прочих равных условиях несколько больше, чем коэффициент поглощения для поперечной волны