Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Глава 3. ОСНОВЫ НЕЛИНЕЙНОЙ АКУСТИКИ ГАЗОВ И ЖИДКОСТЕЙ§ 1. Плоская волна конечной амплитуды в газе и жидкости в отсутствие диссипацииВ задачах линейной акустики амплитуда волны считалась настолько малой, что присутствие волны не влияло на свойства среды в той степени, чтобы их изменение сказывалось на распространении другой волны. Выполнялся принцип суперпозиции возмущений; волны не взаимодействовали между собой, распространяясь независимо. Такое положение, однако, представляет собой идеализацию. Даже для сколь угодно малых амплитуд волн принцип суперпозиции не выполняется. Вопрос лишь в том, насколько существенно в той или иной задаче проявление всегда имеющейся нелинейности в исходных уравнениях движения и в уравнении состояния. Когда необходимо учитывать конечность амплитуды упругой волны и становятся заметными отклонения от принципа суперпозиции, возникает большое число разнообразных нелинейных эффектов. К их числу можно отнести искажение формы вначале синусоидальной волны и образование гармоник, превращение такой волны в пилообразную волну, возникновение комбинационных частот (в случае распространения нескольких волн), нелинейное поглощение, различные параметрические эффекты, рассеяние звука на звуке, трансформацию спектра интенсивных шумов, взаимодействие сигнала с шумом, акустические течения, радиационное давление, кавитацию и многие другие. Весь этот круг вопросов принято называть нелинейной акустикой. В этой главе изложены основные принципиальные положения из всего теперь уже огромного количества нелинейных явлений, эффектов, приложений, которые исследованы и продолжают исследоваться. Теоретические основы нелинейной акустики — это часть общей теории нелинейных волн — быстро развивающейся области современной физики, изучающей общие вопросы распространения волн конечной амплитуды на поверхности жидкости, волн в плазме, мощного лазерного излучения в оптически нелинейных средах и т. д. В настоящее время имеется уже обширная литература, относящаяся к различным разделам теории нелинейных волн, в том числе и к нелинейной акустике [1—11]; по ходу изложения даются необходимые ссылки на оригинальные статьи, обзоры и монографии. Рассмотрим распространение плоской звуковой волны в газе или жидкости без учета диссипации. Исходными уравнениями служат: уравнение движения идеальной жидкости, которое для одномерного движения (вдоль оси
уравнение неразрывности —
и уравнение состояния —
где В гл. 2 считалось, что акустические скорости v малы и членом Не будем теперь пренебрегать нелинейным членом Пользуясь (1.3), исключим давление
Следуя Риману, введем функцию
Очевидно, что
Уравнения (1.2) и (1.4) могут быть теперь записаны так:
Произведя сложение и вычитание этих уравнений, получим
При
Каждое из этих двух уравнений описывает распространение возмущения (волну); одно из них распространяется в положительном направлении оси что если в случае волнового уравнения для линейной задачи общее решение состояло из суммы двух волн, движущихся в противоположных направлениях, то в рассматриваемом случае суммировать возмущения нельзя, поскольку возможно нелинейное взаимодействие волн, распространяющихся навстречу друг другу. В формуле Учтем теперь нелинейность уравнения состояния. Согласно (1.1) имеем
Здесь везде индекс
Подставляя это значение с в выражение для функции Римана (1.5), получим
откуда С учетом выражения (1.12) локальная скорость
где
(рассматриваем только волну, идущую вправо). Нелинейность уравнения движения изменяет скорость распространения возмущения на величину v (см. 1.9)), а нелинейность уравнения состояния — на величину Для волны, бегущей в положительном направлении х относительно неподвижной системы координат, возмущение движется со скоростью
Это — скорость распространения возмущения среды в неподвижной системе координат. Отметим, что если для линейной гармонической волны
Как видно, скорость перемещения точек профиля волны различна. Точки профиля, для которых
Рис. 3.1. Изменение профиля плоской волны конечной амплитуды по мере ее распространения: а) Обращаясь к рис. 3.1, можно видеть, что заштрихованные площади при многие другие понятия теории нелинейных волн, обладает свойствами универсальности (как это имеет место и в теории нелинейных колебаний для сосредоточенных систем различной природы). На основании проведенного расчета можно, зная форму волны в момент времени t, построить форму волны для времени
Рис. 3.2. Точка а на профиле скорости «остановленной» волны, двигаясь со скоростью Через время
Следовательно, примененное построение формы волны можно проводить только для времени Выразим время образования пилообразной волны через амплитуду давления
Расстояние, на котором образуется разрыв,
Здесь Теперь можно записать крутизну переднего фронта в зависимости от пройденного волной расстояния:
Отсюда видно, что если расстояние измеряется в единицах X, то искажение будет одинаковым и не будет зависеть от амплитуды давления, частоты и природы газа или жидкости. Запишем уравнение римановской простой волны (1.14) в сопровождающей системе координат. Для этого следует перейти от I и
В этих переменных
(аналогичные соотношения имеют место для величин
Считая, что
Эта запись уравнения простой волны в сопровождающей системе координат часто применяется в нелинейной акустике. Уравнение (1.24), в отличие от уравнения римановской волны (1.14), уже не является точным (в рамках предположений, положенных в основу вывода (1.13)), поскольку при его выводе использовалось лишь второе приближение. Впрочем, ценность точного решения Римана ограничена тем, что оно относится к идеализированному случаю отсутствия диссипации. Отметим также, что в линейном случае, когда
Искажение формы волны можно описывать и в спектральном представлении; очевидно, искажение эквивалентно образованию гармоник. При распространении синусоидальной волны с частотой со, из-за нелинейных процессов в среде образуются волны с частотой Рассмотрим образование гармоник в основной волне, имеющей при
членами порядка выше
откуда
Разлагая далее знаменатель в ряд и ограничиваясь двумя членами разложения, имеем
Таким образом, наряду с основным колебанием появилась вторая гармоника с амплитудой
Относительная величина второй гармоники, являющаяся мерой нелинейного искажения, для звукового давления определится формулой (с учетом соотношения для плоской волны)
где Согласно этому выражению Вернемся теперь снова к уравнению (1.12). При При этом величины первого порядка малости будем отмечать одним штрихом, второго — двумя штрихами. Эти соотношения оказываются такими (см., например, [2, 17]):
или
Таким образом, в отличие от плоской волны бесконечно малой амплитуды, во втором приближении линейные соотношения между давлением и плотностью становятся неверными. Из приведенных формул следует, что при условии постоянства массы
Величина
|
1 |
Оглавление
|