§ 2. Стоячие нелинейные волны и резонаторы

До сих пор мы имели дело с нелинейными волнами в неограниченной среде. Однако, в физической акустике большое значение имеет распространение волн в ограниченных объемах-резонаторах, трубах, волноводах, образцах твердых тел. В таких системах возникают стоячие волны. Например, в резонаторах с большой добротностью нелинейность приводит к появлению дополнительных резонансов. Сами нелинейные явления благодаря большой добротности проявляются на резонансных частотах при весьма малых амплитудах, а добротность резонаторов может падать с увеличением амплитуды вынуждающей силы.

Если теория нелинейных волн, бегущих в одном направлении, получила большое развитие и здесь были разработаны достаточно мощные методы анализа (основанные на использовании уравнений типа Бюргерса), то для решения задач о стоячих нелинейных волнах такие методы разработаны в значительно меньшей степени. Достаточно сказать, что вопрос об отражении и преломлении волн конечной амплитуды еще недостаточно изучен. Законы отражения и преломления основываются на принципе Гюйгенса, в основу которого положен принцип суперпозиции, а он не выполняется для волн конечной амплитуды.

Законы отражения нелинейных упругих волн от границ становятся, вообще говоря, несколько (а в ряде случаев и существенно) иными по сравнению с линейной теорией. Например, если пилообразная волна падает нормально на абсолютно мягкую стенку, то, поскольку фаза волн давления меняется при этом на , скачок давления переходит в скачок разрежения. Пилообразная волна становится неустойчивой, и разрывы сглаживаются. В других случаях наоборот, нелинейные эффекты подчеркиваются.

Рассмотрим сначала линейные собственные колебания (стоячие волны) для случая двух абсолютно жестких параллельных стенок (бесконечный импеданс) [12, 13], находящихся на расстоянии друг от друга (условие резонанса). Если при то для v у стенок, т. е. при имеется узел и значения v равны нулю (узлы колебаний при любых и при любых временах t). Наоборот, звуковое давление на стенке будет иметь пучность и узел посередине между стенками. На рис. 4.4 представлены распределение скоростей и распределение давлений в стоячей волне между стенками через 1/8 периода

Что изменится, если мы будем иметь дело с нелинейными колебаниями и волнами при тех же условиях? Эту задачу можно решать как для простых, так и для квазипростых волн как задачу о распространяющихся навстречу двух таких волнах. Благодаря тому, что эти волны движутся навстречу друг другу, нелинейного взаимодействия в области между стенками эти волны не испытывают (угол а в (1.2) равен , и эффекта накапливания искажения нет). Однако каждая из встречных волн искажается независимо; кроме того, они связаны условиями на границах. Рассмотрение этой задачи приводит к тому, что форма профиля колебательной скорости v изменяется со временем, приобретая пилообразную форму (подробнее см. [12]), т. е. в решении задачи есть нарастающие во времени члены. Несколько иначе выглядит форма профиля давления .

На рис. 4.5 показано, как изменяется распределение v и в нелинейной стоячей волне между двумя абсолютно жесткими стенками. Так же, как для линейного случая (рис. 4.4), на рис. 4.5 через 1/8 периода представлены мгновенные формы профиля v и . Отметим, что если узлы для v остаются все время на стенках, то узлы смещаются («бегают») по что нужно учитывать в ряде экспериментов с большими амплитудами при использовании интерферометров со стоячими волнами.

Задача о вынужденных стоячих колебаниях конечной амплитуды трубы, открытой с одного конца, решалась в [14] методом последовательных приближений в переменных Лагранжа. Если — смещение поршня, — невозмущенная плотность среды, — плотность и давление, то для адиабатического распространения звука и волновое уравнение в переменных Лагранжа будет, согласно (1.1.8) и (1.1.9),

где . Полагая , где — второе приближение, получим решение уравнения (2.1) для первого приближения

Считалось, что координата поршня а открытый конец трубы имеет координату . Граничные условия приняты в виде

Условие резонанса будет тогда иметь вид

Из (2.1) нетрудно получить уравнение второго приближения для

Рис. 4.4. Распределение скоростей (а) и давлений (б) в стоячей волне бесконечно малой амплитуды между двумя жесткими стенками через 1/8 периода. Число восьмых периода обозначено цифрами .

Рис. 4.5. Распределение скоростей (а) и давлений (б) в стоячей волне конечной амплитуды между двумя жесткими стенками через 1/8 периода. Число восьмых периода обозначено цифрами

Подставляя в правую часть этого уравнения выражение для из (2.2) и считая, что граничные условия для I" будут

получаем выражение для . Из этого решения, которое из-за его громоздкости мы здесь не выписываем, следует, что, помимо обычных «линейных» резонансов, имеются еще «нелинейные» резонансы, при которых не выполняются условия применимости метода последовательных приближений. Эти условия «нелинейных» резонансов таковы:

В точках, удовлетворяющих этим условиям, а значения конечны. Физический смысл отмеченных «нелинейных» резонансов состоит в том, что одна из частот, возникающая из-за нелинейности, совпадает с одной из собственных частот резонатора. Если акустический резонатор имеет высокую механическую добротность, нелинейные эффекты вблизи резонансов при внешнем возбуждении могут проявляться при очень малых амплитудах. Для реальных резонаторов, у которых добротность ограничивается потерями на вязкость и теплопроводность, нелинейные явления зависят, как и в случае бегущих волн, от числа Рейнольдса. В [15] показывается, что в качестве числа Рейнольдса для резонаторов в виде слоя, с одной стороны которого происходит возбуждение, а другая сторона механически свободна, можно взять

где — добротность резонатора, а — коэффициент поглощения среды, — амплитуда колебательного смещения.

Пользуясь этим числом, можно заранее сказать, насколько существенными будут нелинейные эффекты вблизи резонансов. При амплитуда колебаний на удвоенной частоте вблизи от линейных резонансов сильно растет как и в линейном резонаторе; т. е. здесь возникают также нелинейные резонансы. При нелинейные эффекты оказываются несущественными.

Задача о вынужденных нелинейных колебаниях резонатора с комплексным граничным импедансом аналогичным методом рассмотрена в [16].

Хотя метод последовательных приближений и дает возможность найти «нелинейные» резонансы и определить критерии роли нелинейных эффектов для резонаторов с высокой добротностью, он не может быть применен для задач, где нелинейные эффекты в стоячих волнах достаточно сильно выражены. Не может этот метод дать ответ и на вопрос о том, каково поведение добротности резонатора вблизи резонансов. В [18, 19] разработан метод для решения задач взаимодействия встречных, достаточно интенсивных периодических нелинейных волн, являющийся обобщением метода медленно изменяющегося профиля.

Это обобщение сводится к тому, что в уравнениях Бюргерса в сопровождающих координатах проводится усреднение по быстропеременным функциям, описывающим встречные волны (двигающиеся друг относительно друга с двойной скоростью звука и взаимодействующие только на границе).

В качестве иллюстрации развитого метода на рис. 4.6 приведен результат расчета собственных колебаний слоя с двумя абсолютно отражающими стенками (нелинейный резонанс). Показаны стоячие волны колебательной скорости через равные интервалы времени при различных значениях параметра

Как видно из рис. 4.6, прослеживается эволюция возмущения на одной из собственных частот резонатора при больших числах

Рейнольдса. Рост гармоник высоких номеров приводит к образованию пилообразной волны; узлы скорости, как и в линейном случае, остаются неподвижными, тогда как узлы плотности и пучности давления перемещаются между узлами скоростей, а у колебательной скорости возникает дополнительный узел — бегущий разрыв. Когда разрыв движется вдоль резонатора, то уменьшается его положительная часть, а отрицательная увеличивается и к другому узлу скорости этот разрыв приобретает противоположную полярность. На границах резонатора возникают резкие перепады давления, тем большие, чем круче фронт волны; для нахождения его ширины необходимо учесть процессы диссипации. Этот учет осуществляется при помощи уравнений Бюргерса для каждой из встречных волн. При больших значениях времени ударный фронт постепенно расширяется и стоячие волны снова становятся гармоническими.

Рис. 4.6. Эволюция возмущения на одной из собственных частот резонатора в случае больших чисел Рейнольдса при различных значениях параметра, характеризующего нелинейность задачи (в). Расчет проведен для жестких стенок [18, 19]. Число восьмых периода обозначено цифрами 1-9.

В процессе образования ударной волны при собственных колебаниях резонатора увеличивается нелинейное поглощение и добротность резонатора падает. Последняя достигает минимума в момент образования разрыва.

В случае вынужденных колебаний нелинейного резонатора под действием распределенной внешней силы уравнения для прямой и обратной волн сводятся к неоднородным уравнениям Бюргерса, решения которых выражаются через функции Матье [191. Это решение дает возможность проследить, как устанавливаются вынужденные колебания в резонаторе, какова стационарная форма этих колебаний. Потери энергии, возникающие при образовании гармоник из-за нелинейности, компенсируются энергией, отбираемой от источника. Это приводит к стабилизации профиля стоячих волн (рис. 4.5, а). При этом добротность при вынужденных колебаниях, так же как и в случае собственных колебаний, непостоянна;

она определяется амплитудой вынуждающей силы и уменьшается с увеличением амплитуды установившихся колебаний. Указанный метод дает возможность найти также резонансные кривые нелинейного резонатора. К задачам о нелинейных колебаниях в резонаторах примыкает задача о распространении акустических волн конечной амплитуды в акустических волноводах [20]. Здесь поле удается представить как сумму полей двух нелинейных волн, бегущих под углом друг к другу.

Однако разработанный метод использования уравнений Бюргерса для встречных (или бегущих под углом) волн с дополнительным усреднением уравнений по быстропеременным функциям пока что не обобщен для границ резонаторов и волноводов, имеющих произвольное значение импеданса.