§ 4. Рассеяние поверхностных волн. Резонаторы и фильтры на основе отражательных структур

Важную роль в акустоэлектронике играют взаимодействия ПАВ с различного вида неоднородностями подложки, в частности рассеяние на периодических и квазипериодических совокупностях неоднородностей поверхности, представляющих собой дифракционные решетки для ПАВ. Еще в 1967 г. [38] было предложено использовать периодические решетки в качестве распределенных отражателей ПАВ при создании многоотводных линий задержки.

Рис. 12.8. Типы рассеивателей ПАВ: а) канавки, б) металлические или диэлектрические полоски, в) неоднородности, получаемые внедрением примесей.

Позднее были разработаны более сложные структуры, у которых отражательная способность изменялась по желаемому закону, позволяя формировать требуемую амплитудно-частотную характеристику решетки и создавать высококачественные полосовые фильтры [39] и фильтры сжатия частотно-модулированных импульсов [40]. В настоящее время одним из наиболее важных приложений дифракционных решеток ПАВ, работающих в режиме отражения, стали резонаторы на поверхностных волнах в которых решетки выполняют ту же роль, что и зеркала в интерферометре Фабри — Перо. Периодические решетки пока являются единственным средством, обеспечивающим высокий коэффициент отражения ПАВ, практически приближающийся к единице.

Физическая природа рассеивателей поверхностной волны может быть различной. Они могут использовать изменение геометрии поверхности (канавки); локальное «закорачивание» электрического поля на поверхности пьезоэлектриков или инерционную нагрузку, действие которой добавляется к геометрическому и электрическому факторам (металлические или диэлектрические полоски на поверхности твердого тела); введение примесей в подложку с помощью ионной имплантации или диффузии и т. д. На рис. 12.8 изображены периодические решетки, сформированные рассеивателями описанных выше типов.

Первые работы, в которых исследовалось рассеяние ПАВ на различных дефектах поверхности, были выполнены в конце 50-х годов [42, 43] применительно к нуждам сейсмологии и ультразвуковой поверхностной дефектоскопии. С появлением акустоэлектронных устройств активность исследований в этой области значительно

увеличилась (см., например, [44—47]) и были получены многочисленные данные для различных видов рассеивателей.

С целью пояснения физики процесса рассмотрим рассеяние рэлеевской волны на одиночной неоднородности типа канавки на поверхности твердого тела. Неоднородности подобного рода, называемые топографическими, широко распространены на практике вследствие высокого качества основанных на них устройств и простоты изготовления. Пусть на канавку падает нормально гармоническая рэлеевская волна (рис. 12.9), амплитуды смещения которой равны . Полное поле смещений в упругом полупространстве должно удовлетворять уравнению движения (9.1.2) и однородным граничным условиям на свободной поверхности

где — единичные векторы нормали и касательной к поверхности.

Рис. 12.9. Геометрия задачи о рассеянии ПАВ на топографической неоднородности.

Причину рассеяния рэлеевской волны на канавке можно пояснить тем, что в областях с большой кривизной поверхности (по сравнению с волновым числом) поле одной падающей волны не может удовлетворить граничным условиям (4.1). В результате этого появляется отраженная рэлеевская волна, а в глубь среды излучаются продольные и поперечные объемные волны. Если рассеивающее препятствие достаточно мало, т. е. функция , описывающая форму препятствия, удовлетворяет условиям то в большинстве случаев рассеянные поля могут быть рассчитаны с помощью первого (борновского) приближения теории возмущений.

Воспроизведем основные идеи расчетов, опираясь на работу [45], в которой наличие свободной границы учитывается путем введения зависящих от координат упругих констант

    (4.2)

где — ступенчатая функция Хэвисайда. При малых выражение (4.2) может быть разложено в степенной ряд по , коэффициентами которого будут производные от соответствующих обобщенных функций:

Подставляя (4.3) в уравнение движения (граничные условия (4.1) при этом удовлетворяются автоматически), получим следующее уравнение для гармонического во времени вектора смещений

где

— невозмущенный оператор, соответствующий однородному полупространству, описывающий препятствие оператор возмущения, связанный с последующими членами ряда (4.3). Его мы для краткости не будем выписывать. С помощью тензора Грина удовлетворяющего уравнению

(см., например, [48]), выражение (4.4) можно привести к эквивалентному интегродифференциальному уравнению:

где компоненты представляют собой решение (4.4) без правой части и описывают рэлеевскую волну, распространяющуюся вдоль свободной поверхности Борновское приближение к решению получается, если в интеграл (4.6) вместо подставить . При этом величины под интегралом имеют смысл поверхностных нагрузок, и вычисление рассеянных полей в полупространстве сводится к известной задаче Лэмба о возбуждении упругих волн в ограниченной твердой среде [481. Чтобы не допускать превышения точности, в выражении для следует также ограничиться только членами первого порядка по . Последующие итерации уравнения (4.6) (одновременно с удержанием членов более высокого порядка в ) в принципе позволяют определить и все высшие (постборновские) приближения. Однако для решения этой задачи уже требуются численные методы, так как определяемый из (4.5) тензор Грина даже для изотропного полупространства представйм лишь в виде интегралов, которые могут быть вычислены аналитически только для больших расстояний от источника рассеяния. Ряд полезных заключений об эффектах высших порядков можно, тем не менее, сделать на основании общих закономерностей рассеяния поверхностных волн [49, 50].

Первые подробные расчеты рассеяния ПАВ рэлеевского типа на топографических неоднородностях в рамках первого приближения теории возмущений были проделаны Туаном с сотрудниками (см. [44]) для изотропного твердого тела. При этом были получены аналитические выражения для коэффициентов отражения рэлеевской волны и для диаграмм рассеяния в объем среды. Рассеяние рэлеевских волн на неоднородностях типа канавок и полосок при наклонном падении впервые рассматривалось в работах [46, 51].

Наибольший интерес с точки зрения приложений рассеяния ПАВ в акустоэлектронике представляют отражательные решетки, базовыми элементами которых являются рассмотренные выше элементарные рассеиватели. В случае нормального падения ПАВ на решетку ее период d, или расстояние между центрами двух соседних рассеивателей, выбирается равным , где — длина ПАВ.

При этом поля, рассеянные каждой неоднородностью в обратном направлении, складываются в фазе (брэгговское отражение) и при достаточно протяженных решетках наступает почти полное отражение ПАВ. В этом случае главным источником потерь при отражении оказывается рассеяние в объем среды. К счастью, как раз при потери на объемное рассеяние минимальны, так как для объемных волн, излучаемых по нормали к поверхности, элементарные рассеиватели решетки действуют в противофазе.

Коэффициент отражения ПАВ от решетки можно рассчитать матричным методом [41, 52], автоматически учитывающим многократные перерассеяния ПАВ на элементах решетки. Каждому рассеивателю при этом сопоставляется четырехкомпонентная матрица рассеяния (излучение в объем среды не учитывается). Затем с помощью каскадного перемножения матриц, соответствующих отдельным рассеивателям, определяется общий коэффициент отражения. Благодаря простоте и наглядности матричного метода с его помощью были впервые получены все основные результаты по теории распределенных отражателей ПАВ. [41]. В частности, было показано, что модуль коэффициента отражения от решетки выражается формулой

где N — число канавок в решетке, модуль коэффициента отражения от одиночной канавки, который может быть рассчитан с помощью выражения (4.6). Если канавка имеет прямоугольный профиль (при этом (4.6) справедливо лишь в борновском приближении), то и I — соответственно высота и ширина канавки, а с — безразмерная постоянная, зависящая от упругих свойств среды. Например, для канавки, вытравленной перпендикулярно к направлению Z Y-среза кристалла ниобата лития (расчет в квазиизотропном приближении) значение с равно 0,34. Из (4.7) видно, что при имеет место , а при выражение для R приобретает вид . В последнем предельном случае многократное рассеяние не играет роли и суммарная отраженная волна представляет собой сумму волн, отраженных каждой канавкой решетки.

Более строгий метод анализа отражательных решеток, основанный на известном в интегральной оптике методе связанных мод, был развит в [29, 30, 53]. В работах [54, 55] для расчета рассеяния ПАВ на решетке использовался модифицированный метод возмущений, основанный на специальном выборе нулевого приближения к решению. При этом, в частности, была решена задача об отражении рэлеевской волны от решетки при наклонном падении с учетом многократного рассеяния [55].

Простейшим и в то же время наиболее важным для практики устройством, использующим отражение ПАВ от периодических решеток, являются резонаторы на ПАВ, образованные двумя отражательными решетками. Типичная конструкция такого резонатора

представлена на рис. 12.10. Основное преимущество резонаторов на ПАВ перед обычными кристаллическими резонаторами на объемных волнах состоит в том, что изготовление последних для частот свыше 30 МГц вызывает значительные технологические трудности. В то же время изготовление резонаторов на ПАВ, работающих на частотах до 1-2 ГГц, является довольно несложным делом и может быть осуществлено с помощью фотолитографии. Это позволяет использовать резонаторы на ПАВ в качестве высокостабильных эталонов частоты, узкополосных фильтров гигагерцевого диапазона, высококачественных фильтров на основе связанных резонаторов и т. д.

Центральная частота резонатора на ПАВ определяется из обычного условия для интерферометров типа Фабри — Перо, состоящего в том, чтобы в эффективной длине резонансной полости где — глубина проникновения ПАВ в решетку, укладывалось целое число полуволн.

Рис. 12.10. Резонатор на ПАВ: 1 — встречно-штыревые преобразователи, 2 — отражательные решетки.

Рис. 12.11. Характеристика пропускания резонатора на ПАВ [41]:

При этом частотный интервал между двумя соседними резонансами полости определяется выражением где v — скорость ПАВ. Поскольку сами отражательные решетки также обладают резонансными свойствами, так как относительная полоса заграждения решетки пропорциональна , то из всех резонансов полости реально существуют один или два. Эти особенности резонатора на ПАВ весьма наглядно иллюстрируются рис. 12.11, на котором изображена типичная характеристика пропускания резонатора с отражателями в виде системы канавок [41] для случая достаточно длинной резонансной полости Видно, что потери пропускания П близки к нулю вне полосы заграждения решетки и достигают значительной величины внутри этой полосы, за исключением частот двух попадающих в нее резонансов полости. Побочный резонанс, очевидно, может быть выведен из полосы заграждения за счет сокращения длины резонансной полости или путем уменьшения полос заграждения решеток.

Добротность Q резонаторов на поверхностных волнах определяется суммарными потерями ПАВ согласно выражению

где — добротности, обусловленные механизмами потерь. К этим механизмам относятся потери распространения, вызванные термоупругим и вязкостным затуханием ПАВ в материале подложки и возбуждением звуковых волн в воздухе, находящемся в контакте с подложкой; дифракционные потери; потери за счет пропускания ПАВ отражательными решетками и потери, обусловленные рассеянием в объем среды. Добротность, определяемую только термоупругими и вязкостными потерями, принято называть добротностью материала Она, очевидно, является предельно достижимой добротностью резонатора. Например, для подложек из и -кварца величины на частоте 100 МГц соответственно равны 105 и 6-104 [56]. Дифракционные потери не играют существенной роли в резонаторах на ПАВ, поскольку они легко могут быть сделаны пренебрежимо малыми за счет увеличения ширины пучка ПАВ. Потери пропускания ПАВ отражательными решетками также чрезвычайно малы при достаточно большом числе рассеивателей, например при Потери на объемное рассеяние оказываются наиболее серьезной причиной ограничения добротности резонаторов на ПАВ; однако они могут быть значительно снижены за счет уменьшения величины или глубины канавок при соответствующем увеличении их числа. Именно при очень малых были достигнуты значения добротностей в несколько десятков тысяч, что на используемых частотах приближалось к добротностям материала [57, 58]. Отметим, что наиболее высокодобротные резонаторы на ПАВ, изготовленные к настоящему времени [55—58], имели отражательные решетки в виде канавок. Решетки такого типа обладают наименьшими дисперсионными искажениями, а качество поверхностей канавок, обычно получаемых методом ионного травления, оказывается очень высоким. Резонаторы, имеющие решетки из отражающих металлических или диэлектрических полосок, характеризуются существенно меньшими значениями добротностей, что связано, во-первых, с наличием довольно сильной дисперсии, вызываемой полосками, которая приводит к искажениям фронта поверхностной волны при ее прохождении через решетку. Кроме того, в протяженных металлических полосках, расположенных на поверхности пьезоэлектриков, имеют место омические потери, также снижающие добротность резонаторов.

Другим важным применением рассеивающих структур ПАВ являются дисперсионные фильтры, образованные канавками. Хотя для создания дисперсионных фильтров могут использоваться и апериодические встречно-штыревые преобразователи (§ 3), устройства на основе рассеивающих структур обладают более высокими показателями, так как они свободны от целого ряда искажений

поля ПАВ |40]. Например, коэффициент сжатия частотно-модулированных импульсов, представляющий собой произведение полосы пропускания фильтра на изменение длительности задержки, у фильтров с отражательными решетками оказывается значительно выше, чем у фильтров с апериодическими ВШП, и к настоящему времени достигает десятков тысяч.

Типичный дисперсионный фильтр с отражательными решетками изображен на рис. 12.12. Принцип действия его основан на изменении времени задержки с частотой. Расчет передаточных характеристик таких фильтров в принципе ничем не отличается от случая фильтров с ВШП. Многократные отражения, которые в данном случае нежелательны, и другие эффекты высших порядков обычно оказываются малыми, и ими можно либо пренебречь, либо компенсировать их с помощью простых эмпирических приемов [40]. Потери за счет излучения объемных волн не играют в дисперсионных фильтрах значительной роли, поскольку в большинстве случаев они не приводят к ухудшению передаточной функции устройства, а влияют лишь на общие вносимые потери складывающиеся, в основном из потерь прохождения поверхностной волны через решетки.

Рис. 12.12. Дисперсионный фильтр на ПАВ с отражательными решетками: 1 — входной ВШП, 2 — отражательные решетки, 3 — выходной ВШП.

Рассеивающие структуры могут с успехом применяться и для создания полосовых фильтров. Однако работ, посвященных этому вопросу, относительно немного (см. обзор ). По-видимому, это объясняется тем, что полосовые фильтры на отражательных решетках не имеют существенных преимуществ перед устройствами на ВШП (см. § 3) и могут конкурировать с последними лишь в тех случаях, когда условия эксплуатации накладывают какие-либо ограничения на выбор материалов подложек или к характеристикам фильтров предъявляются повышенные требования. Отметим, что привлекательной особенностью всех приборов с отражательными решетками является то, что в принципе они не требуют пьезоэлектрических подложек. Это позволяет с большей свободой подходить к выбору материала подложек для удовлетворения различных специфических требований, например обеспечения высокой температурной стабильности.