§ 3. Приближенный учет дифракционных поправок. Метод плавных возмущений

Учесть дифракционные эффекты можно приближенно на основе более общих уравнений, чем уравнения геометрической акустики. Это можно сделать с помощью метода плавных возмущений. Идея метода в применении к задаче о рассеянии звука и света полем турбулентных неоднородностей была развита А. М. Обуховым [24]. Отметим, что аналогичный подход был ранее использован С. М. Рытовым при решении задачи о дифракции света на ультразвуке [25]. Введем комплексную функцию [13]:

где — фаза. Воспользуемся для потенциала представлением и подставим это значение в уравнение (2.1), т. е. в начальной стадии поступим так же, как и в § 2 при получении уравнений (2.5). Но не будем теперь переходить к пределу 0 в этих уравнениях, а найдем уравнения для комплексной функции Тогда получим

Заметим, что для невозмущенного звукового поля Если далее положить и подставить это значение в (3.2), то, пренебрегая членами, в которых содержатся получим основное уравнение метода плавных возмущений:

Оно оказывается линейным относительно возмущения комплексной фазы . Так как членами мы пренебрегали, необходимо, чтобы на расстояниях порядка К относительные изменения волнового поля были незначительны. В этом смысле и оправдано название этого метода как метода плавных возмущений.

Если в уравнении (3.3) опустить дифракционный член то мы снова возвращаемся к уравнениям (2.8).

Для учета дифракционных эффектов можно, вообще говоря, пользоваться более простым уравнением, чем (3.3):

(здесь — «поперечный» лапласиан), решение которого записывается в виде

где Для турбулентного поля представляет собой случайную функцию координат и для вычисления

следует решать статистическую задачу.

Одной из наиболее важных характеристик поля пульсаций служит корреляционная функция которая, если случайное поле значений изотропно, зависит от расстояния между точками Сами величины корреляционных функций следует брать из эксперимента, учитывая, что при больших качестве В часто берут гауссовскую корреляционную функцию или экспоненциальную функцию . Более обоснованно с физической точки зрения пользоваться структурными функциями которые связаны с корреляционной функцией соотношением

При экспериментальном определении отпадает трудность выделения среднего уровня. Использование вместо В функции D имеет еще то преимущество, что значение этой функции естественно вытекает из теории локально-изотропной турбулентности (см. § 7 гл. 1).

Как мы видели выше (§ 2), для среды со случайными неоднородностями определение сводится к использованию уравнений для фазы и логарифма амплитуды, возведению их в квадрат, последующему усреднению и использованию функций В или D для данной турбулентной среды.

Более точная теория, основанная на методе плавных возмущений, учитывающая дифракционные эффекты, согласно уравнению (3.4) при использовании корреляционной функции гауссовского типа дает для флуктуаций эйконала и логарифма амплитуды следующие выражения [131:

Здесь

Если (это соответствует условию (малые расстояния), то мы получаем формулы геометрического приближения:

В другом же предельном случае имеем

Из сравнения формул для для этих двух предельных случаев следует, что из (3.7) отличается от S? из (3.8) лишь численным множителем 1/2, тогда как пропорциональность L сохраняется.

С другой стороны, значения и характер зависимости от расстояния

стояния L в случаях (3.7) и (3.8) сильно разнятся. Если в трактовке геометрической акустики то с учетом дифракционных эффектов . На рис. 7.4 представлен результат эксперимента [51] по измерениям на частотах звукового диапазона. Таким образом (см. также [6]), учет дифракционных эффектов для объяснения флуктуаций амплитуды приводит к согласию эксперимента с теорией.

Пользуясь методом плавных возмущений, можно решать задачи о рассеянии волн на неоднородностях показателя преломления; об этом будет идти речь далее.

Если принять структурную функцию показателя преломления (а не пользоваться корреляционными функциями, не имеющими достаточного физического обоснования) в виде

где — структурная характеристика поля пульсаций , можно рассчитать средний квадрат флуктуаций амплитуды звука, используя уравнение (3.4). Получается формула

приведенная в [14]; она хорошо согласуется с данными измерений [5, 6].

Приведенный способ учета дифракционных поправок методом плавных возмущений позволил получить удовлетворительное совпадение с экспериментами, согласно которым флуктуации среднего квадратичного значения логарифма амплитуды звука в турбулентной среде растут примерно пропорционально проходимому волной расстоянию

Вместе с тем при больших расстояниях флуктуации волнового поля становятся значительными.

Возникают, как принято говорить, сильные флуктуации и метод плавных возмущений уже становится неприменимым.

Рис. 7.4. Зависимость от расстояния L. Данные измерений на частотах Гц (кружки и треугольники) и Гц (квадратики, крестики, черные точки), получены в различные дни.

Теория сильных флуктуаций волнового поля в турбулентной среде получила развитие по ряду направлений. Одно из них развивалось В. И. Татарским [14] на основе использования методов теории многократного рассеяния, разработанного в квантовой теории поля. Другой путь, так называемый локальный метод, был предложен Л. А. Черновым [16]. Этим методом удается получить дифференциальное

уравнение параболического типа, используемое в теории дифракции и распространения волн, решение которого дает возможность не ограничиваться только первым приближением в методе малых возмущений, но учесть приближения более высокого порядка. Условия применимости этого уравнения состоят в том, что должны выполняться неравенства масштаб неоднородности), где коэффициент рассеяния по интенсивности, и что можно пренебречь рассеянием в направлении, обратном направлению падающей волны.

Следует отметить, что локальный метод может быть применен и к обычному волновому уравнению [261. Метод называется локальным, поскольку предполагается, что на любом участке слабонеоднородной среды можно выбрать расстояние в направлении распространяющейся волны, когда одновременно выполнены два условия: во-первых, и изменение поля на этом расстоянии мало и, во-вторых, можно ограничиться первым приближением метода малых возмущений применительно к параболическому уравнению. В локальном методе не накладываются ограничения малости на величину такого изменения поля вдоль L. Выше шла речь о распространении плоских волн. Вместе с тем в ряде задач, например в задаче об усреднении апертурой приемной акустической антенны флуктуирующего сигнала, прошедшего через турбулентную среду (если применяется фокусирующая система), приходится встречаться со сферическими волнами. Возникает, таким образом, задача о распространении сферических волн в среде со случайными неоднородностями [14, 16].