§ 3. Параметрические процессы в нелинейных волнах. Параметрическая излучающая и приемная антенны

В нелинейной теории колебаний и ее приложениях (в особенности в радиотехнике) параметрические процессы при использовании достаточно интенсивных периодических изменений сосредоточенных параметров (емкости, индуктивности) позволяют осуществить усиление слабых колебаний и создать параметрические усилители и параметрические генераторы. Подобным образом обстоит дело в нелинейных системах с распределенными параметрами, в которых также можно осуществить параметрическое усиление и генерацию. Это с успехом делается в радиофизике и оптике. В акустике же получены менее значимые результаты.

Пожалуй, наибольшее значение имеет задача о трехчастотном параметрическом взаимодействии, вообще для параметрического усиления или генерации необходимо участие по крайней мере трех волн. Одна из этих волн — волна накачки с частотой другая — слабая волна сигнала (если речь идет о параметрическом усилении) с частотой и третья — волна разностной частоты со., — гак называемая холостая волна. Для этих трех волн должно выполняться соотношение

представляющее собой закон сохранения энергии фонснов; именно отсюда следует необходимость участия в параметрическом процессе холостой волны.

Для того чтобы между этими волнами (будем считать их плоскими) происходило нелинейное взаимодействие в среде без дисперсии такой, как жидкость или газ, все эти три волны должны распространяться водном и том же направлении и Перекачка энергии волны накачки в слабую волну (волну сигнала) представляет собой распадный процесс, в отличие от процесса слияния типа генерации второй гармоники.

На языке фононов мощная волна накачки или фонон распадается на два фонона — (если , то этот процесс называют вырожденным).

Направление перекачки Энергии определяется соотношениями Мэнли - Роу (для систем без диссипации) между параметрами взаимодействующих волн, выражающими закон сохранения энергии. Мы не будем подробно заниматься этими вопросами, укажем только, что параметрический процесс является пороговым-, усиление начинается с определенного значения амплитуд. В этом процессе важное значение имеют также фазовые соотношения между волнами

Если — амплитуды параметрически взаимодействующих волн, то в дифференциальной форме соотношения Мэнли — для волн с частотами распространяющихся в недиспергирующей среде с одинаковыми скоростями, имеют вид

Эти соотношения показывают, что энергия из высокочастотной волны накачки распределяется между волнами в отношении

откуда следует, что преобразование частоты вверх по спектру происходит эффективнее, чем преобразование частоты «вниз», и при приращение энергии низкочастотной волны мало. Теория трехволнового параметрического усиления в приближении заданного поля с учетом диссипации, основанная на использовании уравнения Бюргерса, подробно изложена в [1]. Эта теория приводит к выводу о том, что амплитуды и , т. е. амплитуды сигнала и холостой волны, при больших х будут нарастать экспоненциально, начиная с пороговой амплитуды накачки

где — коэффициенты поглощения волн с частотами . При амплитуды экспоненциально нарастают, и следует пользоваться теорией с учетом истощения энергии волны накачки при больших

Наиболее существенным отличием параметрического усиления в нелинейной акустике от подобного процесса, например в нелинейной оптике, служит то обстоятельство, что в последнем случае имеется сильная дисперсия и волна накачки слабо убывает с расстоянием. В акустическом же случае мощная волна накачки при (когда и должно было бы иметь место достаточное усиление) превращается в пилообразную, быстро затухает и параметрическое усиление становится все более слабым. Если считать, что процесс усиления может происходить до расстояния образования разрыва то можно оценить коэффициент усиления. Для этого отметим, что если не учитывать диссипацию и рассматривать простые волны, амплитуда колебательной скорости волны сигнала из-за взаимодействия с волной накачки на начальном этапе увеличивается согласно [1], с. 156 (рассматриваем для простоты вырожденный случай )

Отсюда коэффициент усиления параметрического усилителя будет

Отметим, что наиболее эффективный режим параметрического усилителя имеет место как раз при он наиболее эффективен, в частности, и по той причине, что при этом «холостая волна», в которую также перекачивается энергия, является одновременно сигналом. Однако даже в этом наиболее благоприятном случае лишь немногим больше единицы.

Имеются попытки создать параметрические усилители, вводя в среду искусственную дисперсию (например, вода с пузырьками; об этом будет идти речь в гл. 6); при волноводном распространении нелинейного звука также можно рассчитывать на создание эффективного параметрического усилителя.

Рис. 4.7. Схема излучающей параметрической антенны.

Таким образом, параметрический усилтель в нелинейной акустике пока еще мало перспективен. Ситуация может измениться, если удастся создать подходящую диспергирующую среду с малым затуханием или использовать взаимодействия акустических волн с волнами другой природы.

Перейдем теперь к анализу физических принципов работы таких интересных нелинейных систем, как параметрические излучающие и приемные антенны. В этих антеннах излучающими или приемными элементами служит сам объем нелинейной среды, в котором происходит взаимодействие волн.

К 1960 г., в основном благодаря работам [2, 14, 15], было показано, что в ультразвуковом диапазоне частот даже при незначительных интенсивностях звука генерация гармоник и комбинационных частот в маловязких жидкостях (таких, например, как вода) благодаря их нелинейным свойствам проявляется весьма сильно. Это натолкнуло Вестервельта [21—24] и независимо от него В. А. Зверева и А. И. Калачева 125—29] на мысль о возможности создания параметрических излучающих и приемных антенн.

На рис. 4.7 показана схема излучающей параметрической антенны. Две интенсивные волны с близкими частотами распространяясь в одном направлении, взаимодействуют между собой. Наряду с рядом комбинационных частот возникает и разностная частота . Так, в качестве для воды выгодно использовать частоты примерно до Если, например, Гц, то волна частоты О поглощается значительно слабее, чем несущие Эта волна может пройти значительно большее расстояние, чем волны Эффективность

такой излучающей распределенной антенны весьма невелика (порядка 1 % мощности первичных волн в наилучшем случае может преобразоваться в волну частоты Q). Тем не менее такая антенна обладает рядом весьма ценных свойств, вследствие чего она нашла важные применения в гидроакустике. К числу таких свойств относится прежде всего узкая характеристика направленности волны разностной частоты О; эта характеристика определяется не апертурой излучателей несущих частот а объемом области взаимодействия, наподобие того, как это имеет место в антенне бегущей волны в радиотехнике. Такая антенна при относительно малых размерах излучающих устройств дает возможность получать достаточно узкую характеристику направленности. Кроме того, параметрическая антенна обладает исключительно интересным свойством — она не имеет боковых лепестков, наличие которых типично для линейных антенн.

Здесь мы должны сделать важное замечание. В рамках общепринятой радиофизической терминологии истинные параметрические процессы распада фононов соз-э-сох-г (процессы усиления) всегда являются пороговыми, т. е. начинают идти в том случае, когда амплитуда волны накачки превышает некоторое пороговое значение (см. (3.4)), зависящее от уровня диссипации в среде. При этом амплитуда сигнальной волны растет в пространстве по экспоненциальному закону от некоторого малого, но обязательно ненулевого значения (в реальных усилителях уровень сигнальной «затравки» должен превышать уровень шумов). По экспоненциальному закону при больших х растет и амплитуда «холостой» волны которая на входе усилителя может равняться нулю.

С другой стороны, в параметрических излучателях звука происходит генерация разностной, а в приемниках (см. ниже) — суммарной частоты при нулевом граничном условии. Как мы видели ранее (1.1), генерация комбинационных частот в плоских волнах идет без порога, от нуля и по линейному закону (эффекты дифракции лишь несколько «подправляют» его).

Таким образом, картина рассмотренного выше процесса параметрического усиления и физика волновых взаимодействий в параметрических излучателях и приемниках существенно различны. Эта оговорка необходима, поскольку в литературе в обоих случаях процессы называют параметрическими, вкладывая в это слово различный смысл. Собственно говоря, взаимодействия в параметрических антеннах с радиофизической точки зрения нельзя называть параметрическими, поскольку амплитуды накачки и «сигнала» на частотах сравнимы. Тем не менее этот термин прочно утвердился среди акустиков, употребляется в сотнях работ и является общепринятым; вряд ли сейчас имеет смысл настаивать на изменении сложившейся терминологии.

На рис. 4.8 представлены характеристики направленности первичного (а, б) и вторичного (в) излучения в воде для частот 418 кГц (а), 482 кГц (б) и 64 кГц (разностной частоты Q) при диаметре излучателя [29]. Хорошо видно отсутствие дифракционных лепестков излучения на частоте Q. Отметим, наконец, что параметрическая антенна обладает свойством широкополосности (условно — от нуля Гц), поскольку модуляция разностной частоты осуществляется модуляцией высокочастотных несущих.

Названные факторы играют большую роль во все увеличивающемся интересе к такой антенне, в особенности со стороны гидроакустиков. В мелком море (шельф) при использовании параметрической антенны значительно меньшую роль играют как донная, так и поверхностная реверберации, поскольку антенна не имеет лепестков

и позволяет возбудить в мелком море только одну нулевую моду [30].

В тех случаях, когда существенна малогабаритность и, с другой стороны, не имеют особого значения потери энергии, такая антенна (благодаря ее широкополосности и поэтому хорошим свойствам для передачи кодированных сигналов) находит все большее применение. Одно из таких применений — поиски под слоем донных отложений (благодаря направленности на разностной — низкой частоте ~1000 Гц и в силу малого поглощения в этом слое низких частот) различного рода объектов — труб, кабелей и т. д. Интересна еще одна особенность параметрической излучающей антенны.

Рис. 4.8. Характеристики направленности первичного (а, б) и вторичного (в) излучения параметрической антенны [29].

Она заключается в том, что благодаря близости частот несущих и малости Q флуктуации скорости звука в морской среде мало влияют на работу такой антенны, они не «разрушают» поле такой антенны.

Весьма интересной является теория параметрической излучающей антенны в силу ее необычного физического принципа. Здесь мы не можем вдаваться в подробное изложение этой теории [26] и отметим только основные ее положения.

Прежде всего следует отметить, что строгой теории такой антенны пока не существует, поскольку пока нет точного решения задачи нелинейной теории дифракции. Существующие приближенные теории можно разбить на три класса.

Первый, наиболее простой способ рассуждений, который принято называть приближением плоских волн [31], состоит в следующем. Рассматривается коллинеарное распространение плоских интенсивных нелинейных волн с учетом диссипативных процессов, так как это было сделано нами выше (§ 1 этой главы). При , т. е. при слабом проявлении нелинейных эффектов, можно воспользоваться решением уравнения Бюргерса (интересуясь прежде всего разностной частотой Q) методом последовательных приближений. Амплитуда волны частоты О, как мы говорили, растет пропорционально х и достигает максимума на некотором расстоянии после чего сильно сказывается диссипация. Эффективность параметрического преобразования определяется как отношение максимальной

амплитуды скорости к амплитуде первичных волн и оказывается равной

Поскольку и , то и в этом случае параметрическая. излучающая антенна неэффективна.

В случае , когда нелинейность существенна, антенна будет эффективно работать до расстояния, когда образуется пилообразная форма волны при . До образования разрыва при

и максимальное значение будет при Тогда эффективность преобразования, в отличие от (3.7), будет

Отсюда видно, что нельзя брать большое снижение по частоте. При антенна начинает работать в режиме насыщения и, как видно из полученного выражения (3.9), х не зависит от (по этой причине в таком режиме искусственное увеличение не должно приводить к повышению х). Примененный метод в приближении плоских волн, конечно, не дает возможности получить какие-либо сведения о характеристике направленности излучения: для этого следует рассматривать по крайней мере двумерную задачу — в частности, параметрическое взаимодействие в ограниченных пучках.

Приведем общий вид решения для осевого распределения амплитуды которое получается при такого рода рассмотрении [26]:

Здесь — длила волны разностной частоты, — амплитуда накачки, V — некоторая функция осевого распределения от указанных в скобках параметров, — длина затухания накачки частоты — длина затухания частоты — длина дифракции (здесь -диаметр излучателя первичных волн).

Подробный разбор вида функции V дан в [27], а частично о предельных случаях шла речь выше.

Следующий шаг в уточнении решения — это представление о параметрической антенне, состоящей из ограниченных пучков нелинейных волн, как о распределении в зоне взаимодействия интенсивных нелинейных волн с частотами — вторичных источников и решение задачи излучения такими источниками. По существу, такая теория, впервые разработанная Вестервельтом это решение задачи о рассеянии звука на звуке с учетом дифракции комбинационной волны в области взаимодействия волн с частотами (см. также [101).

Рассмотрение задачи основано на неоднородном волновом уравнении для давления во втором приближении которое можно

получить из уравнений гидродинамики!

где — звуковое давление исходной волны (первое приближение), — плотность источников.

Это уравнение решается обычным методом запаздывающих потенциалов, причем интегрирование (для нахождения вторичного поля) ведется по всей области взаимодействия первичных волн. Для узкого коллимированного пучка функция для дальнего поля имеет вид

и ширина характеристики направленности которую можно определить из условия уменьшения в два раза, для длинной антенны — длина волны частоты Q) равна

Хотя теория Вестервельта и построена при предположениях, которые сильно ограничивают ее применение, все же она сыграла большую роль в развитии теории параметрических излучающих антенн. Кроме того, ее основные результаты (в частности, вывод о том, что для таких антенн отсутствует «изрезанность» характеристики направленности) оправдываются на эксперименте (за исключением того, что теория не дает правильно уровня амплитуды разностной частоты Q и величины ). К числу ограничений этой теории относится также неучет дифракции первичного поля. Теория построена только для второго приближения и, следовательно, применима только для маломощных первичных полей; ближнее поле вторичного излучения не рассматривается, а это важно для оптимизации антенн [26, 28, 32].

Большое число работ было посвящено уточнению теории Вестервельта (учет поперечного распределения вторичных источников, сферически расходящихся параметрических антенн и т. д.), о которых мы здесь не имеем возможности говорить.

Более точная теория параметрических излучающих антенн, принципиально отличающаяся от теории Вестервельта, была разработана на основе точного волнового расчета нелинейных взаимодействий в дифрагирующих пучках в работах Р. В. Хохлова и его учеников. Использование метода медленно изменяющегося профиля волны в сопровождающей системе координат, наряду с методом параболического уравнения Леонтовича-Фока, приведшего, как известно, к новой области теории — так называемой квазиоптике (области, промежуточной между волновой и геометрической оптикой — акустикой), позволило получить упрощенные уравнения, описывающие поведение ограниченных пучков нелинейных волн (о чем шла речь в гл. 3). Весь этот круг вопросов подробно изложен в книге [26].

Нелинейные параметрические взаимодействия в жидкостях и газах могут быть использованы и для приема слабых сигналов. Принцип действия приемной параметрической антенны приведен на рис. 4.9. Излучатель И частоты (накачка) создает достаточно узкий пучок интенсивных звуковых волн. Слабый сигнал частоты падает под некоторым углом к оси пучка. В области пересечения с полем накачки происходит нелинейное взаимодействие волн и О. При этом возникают комбинационные частоты которые вместе с частотой накачки со регистрируются приемником П. Фильтр Ф, настроенный на одну из боковых частот, выделяет эту частоту, которая далее усиливается усилителем У, тем самым обеспечивая параметрический прием.

Приходящий издалека слабый сигнал Q практически представляет собой плоскую волну. Что же касается накачки, то в «прожекторной зоне» мы имеем дело с плоскими волнами частоты , а при больших расстояниях, чем с волнами расходящимися.

Рис. 4.9. Принцип действия приемной параметрической акустической антенны.

Для наиболее простого случая плоских волн в среде без дисперсии может иметь место только коллинеарное взаимодействие. Поэтому ясно, что максимум направленности приемной параметрической антенны должен быть ориентирован обратно направлению распространения волны накачки.

Однако угол при котором возможен параметрический прием даже при идеально плоских волнах, не будет равен нулю. Имеется так называемый угол параметрического захвата, при котором взаимодействие (а значит, и прием) также возможно. Его можно определить из условия, чтобы пространственный период осцилляций амплитуды волны частоты Q был меньше (поскольку при изменится направление перекачки энергии из волны накачки в волну сигнала).

Можно показать, что угол параметрического захвата в среде без дисперсии при двух взаимодействующих плоских волнах с частотами определяется соотношением [II

где — длина взаимодействия волн. Покажем это, имея в виду, что соотношение (3.14) понадобится нам и в дальнейшем. Положим, что под углом встречаются две плоские волны с амплитудами звукового давления и суммарное поле в первом приближении будет

Нелинейные источники определятся тогда членами, пропорциональными

Здесь мы выписали член поскольку в этом члене присутствуют комбинационные частоты. Для разностной частоты из члена получаем

При этом

Для малых углов и

Расстройка (пространственная осцилляция)

Набег фазы, приводящий к существенному изменению направления перекачки энергии, определится из условия (1/2 длины волны). Отсюда

и мы получаем выражение (3.14) для 0. В рассматриваемом случае приемной параметрической антенны откуда следует, что . Эта оценка совпадает с шириной характеристики направленности для параметрической излучающей антенны в модели Вестервельта, как это и должно быть, поскольку как в случае излучающей, так и в случае приемной антенны мы имеем дело с почти коллинеарным взаимодействием (см. также [27, 28]).

Хотя сам принцип создания приемных параметрических антенн чрезвычайно интересен, в осуществлении такой антенны имеются определенные трудности, например трудности борьбы (из-за широкополосности антенны) с помехами, которые (в особенности на низких частотах) всегда имеются в море, если иметь в виду применение таких антенн в гидроакустике.

Теория приемных параметрических антенн разработана в еще меньшей степени, чем теория излучающих. Здесь также возникают вопросы (как и в теории последних) нахождения характеристик направленности, оптимизации антенны и т. п. [28].