§ 6. Ограниченные пучки

До сих пор рассматривались одномерные нелинейные волны. Естественно, что теория неодномерных возмущений, хотя ее прикладное значение несомненно, становится существенно более сложной. Определенные успехи достигнуты при изучении ограниченных пучков в нелинейной среде. Уравнение во втором приближении, учитывающее нелинейные свойства среды и искажение волн одновременно с дифракционной расходимостью пучка, имеет вид [34]

где — «поперечный» лапласиан. Для двумерного пучка — направление распространения. Это уравнение называют уравнением Хохлова — Заболотской. Оно выведено в предположении, что поперечная компонента скорости имеет порядок где тем самым учитывается расходимость пучка. Изменения всех параметров волны поперек пучка происходят быстрее, чем вдоль имеет порядок , и при выводе этого уравнения предполагается, что

Таким образом, «ограниченность» пучка совместно с нелинейностью должна привести к медленным изменениям формы волны не только вдоль направления распространения, но и поперек него.

Точного решения уравнения (6.1) не получено; оно исследуется асимптотическими методами и при помощи численных методов. Приближенные решения удобно получать, вводя безразмерное число [36], - назовем его в честь Р. В. Хохлова числом Хохлова (X):

где а — ширина пучка и X — длина волны основной частоты. Число X характеризует относительный вклад нелинейных и дифракционных эффектов в искажение профиля волны, подобно тому как акустическое число — относительный вклад нелинейных и диссипативных процессов. Если , преобладают нелинейные эффекты и дифракцию можно не учитывать, если основную роль играют дифракционные эффекты. Мы не имеем возможности вдаваться здесь в подробности обсуждения нелинейной теории ограниченных пучков (см. подробное изложение вопроса в [1, 11]).

Отметим лишь, что в безразмерный переменных уравнение (6.1) для плоского пучка будет иметь вид

В предельном случае т. е. когда главными являются дифракционные эффекты, можно проанализировать уравнение (6.4), отыскивая первое приближение по малому параметру . Результат показывает, что генерация гармоники в ограниченном пучке заметно отличается от того, как это происходит в плоской волне. Вначале при малых расстояниях от источника амплитуда второй гармоники на оси пучка растет линейно с расстоянием так же, как и в плоской волне. Но далее дифракция приводит к стабилизации этой амплитуды, после чего амплитуда уменьшается; имеет место (в некоторой области расстояний) аналогия с тем, как ведет себя амплитуда второй гармоники в диссипативной среде.

В случае малых чисел сильно сказывается нелинейность и в меньшей степени дифракция. Здесь нужно учесть в получающихся уравнениях члены с X не более чем в первой степени; при этом удается получить решение задачи.

Учет диссипации в уравнении (6.4) в еще большей степени усложняет его решение. В настоящее время численным методом решены задачи по применению уравнения (6.4) к анализу формы нелинейных дифрагирующих волн, поведению гармоник в пространстве и ряд других (подробнее см. [11, 37]).