§ 5. Сферические и цилиндрические нелинейные волны

Если записать уравнения гидродинамики вязкой теплопроводящей жидкости в цилиндрических или сферических координатах, то ограничиваясь вторым приближением, можно получить нелинейное уравнение, аналогичное уравнению Бюргерса для сферических и цилиндрических волн. В сопровождающей системе координат эти одномерные уравнения имеют вид

где r — радиальная координата и . При это уравнение описывает нелинейную цилиндрическую волну и при — сферическую; соответствует уравнению Бюргерса для плоской волны. Проведено подробное рассмотрение эволюции профиля сферических и цилиндрических волн [32, 33], возможности образования пилообразных возмущений, динамики ширины ударного фронта, нелинейного затухания и других вопросов. Мы здесь остановимся только на некоторых важных сторонах распространения таких возмущений.

Если цилиндрические и сферические волны расходящиеся, то нелинейные эффекты проявляются значительно слабее, чем для плоской волны. Здесь вступает в силу геометрический фактор и плотность энергии волны, приходящаяся на единицу площади волнового фронта, убывает. Если произвести для сферически симметричных волн замену а для цилиндрически симметричных волн замену то получаются уравнения

Здесь — исходный радиус волнового фронта. Отличие этих уравнений от уравнения Бюргерса для плоской волны состоит в том, что для сферических расходящихся волн как бы увеличивается (экспоненциально нарастает с z) эффективная «вязкость» (в сходящихся волнах эта «вязкость» экспоненциально убывает). В цилиндрических расходящихся волнах «вязкость» линейно растет с (в сходящихся — линейно убывает с ). Такие качественные рассуждения полезны, но не совсем точны, поскольку при получении (5.2) и (5.3) мы произвели нелинейные преобразования координат. Отметим также, что для сферических и цилиндрических волн нельзя ввести число Рейнольдса так, чтобы оно не зависело от расстояния.

Рассмотрим сферическую нелинейную волну. Если число велико (большая интенсивность, большое , малая диссипация), то правую часть уравнения (5.2) можно опустить, и тогда мы будем иметь дело с обычной плоской нелинейной волной, только описываемой

другими переменными и . В этом случае может образоваться сферическая пилообразная волна, если только вплоть до самого образования разрыва. Безразмерное расстояние в длинах образования разрыва для плоской волны определяется формулой . Тогда из сравнения уравнений (5.2) и получаем, что для сферической волны и поэтому расстояние образования разрыва

где Поскольку где — амплитуда исходной волны, то отсюда следует, что при уменьшении расстояние экспоненциально растет.

Если же число не слишком велико, то можно воспользоваться методом последовательных приближений. Мы здесь приведем окончательный результат: при граничных условиях при т. е. на малых расстояниях от источника, получаем в переменных решение

Как видим, амплитуда второй гармоники сферической нелинейной волны растет не по линейному закону, как в плоской волне, а , т. е. достаточно медленно, что происходит из-за сферического расхождения волны.

Проводя подобные рассуждения для цилиндрической расходящейся волны, получим, что разрыв (при достаточном ) образуется на расстоянии

Применяя метод последовательных приближений, получаем для второй гармоники слабой нелинейной цилиндрической волны, что v" пропорционально

Подводя итог рассмотрению расходящихся сферических и цилиндрических волн, мы видим, что нелинейные эффекты для них выражены существенно слабее, чем для плоских волн.

Совсем другая ситуация будет в сходящихся сферических или цилиндрических волнах. В этом случае геометрический фактор будет действовать в направлении усиления нелинейных эффектов. С таким положением часто приходится встречаться в ультразвуковой технике и физике ультразвука при использовании фокусирующих систем. В природных условиях также могут возникать эффекты фокусировки звука, например в гидроакустических задачах.

При малых интенсивностях сферической волны в формуле (5.5) расстояние будет уже не в числителе, а в знаменателе и при уменьшении возникает разрыв. Применение метода последовательных приближений при рассмотрении сходящихся волн ограничено, конечно,

условием, чтобы отношение второй гармоники к первой было существенно меньшим единицы. Для сферических волн расстояние образования разрыва определяется при этом формулой

а для цилиндрической волны —