§ 4. Рассеяние Мандельштама — Бриллюэна на тепловых колебаниях

Рассеяние света на тепловых акустических колебаниях [1, 3, 4] в принципе ничем не отличается от рассеяния на когерентных звуковых волнах. Однако его математическое описание несколько более сложно, так как тепловые возбуждения обладают широким спектром частот и волновых векторов, в результате чего рассеяние происходит во всех направлениях. Так же, как и в случае когерентных световых волн, при рассеянии на тепловых колебаниях наблюдается смещение частот дифрагированного света. Это смещение впервые было предсказано Мандельштамом и Бриллюэном именно для рассеяния на звуковых волнах теплового происхождения, что и послужило причиной называть его манделыитам-бриллюэновским рассеянием (МБР), в отлщгае от рассеяния на неподвижных неоднородностях — рэлеевского рассеяния, происходящего без сдвига частоты [1]. В экспериментах с жидкостями обычно наблюдаются две смещенные линии мандельштам-бриллюэновского рассеяния: стоксова линия, имеющая более низкую частоту по сравнению с частотой падающего света (см. также § 2), и антистоксова линия, характеризующаяся более высокой частотой. Для твердых кристаллических тел как правило наблюдаются три стоксовы и три антистоксовы компоненты в соответствии с тремя типами акустических волн в кристалле — одной квазипродольной и двумя квазипоперечными. При наличии свободной поверхности в результате рассеяния на тепловых поверхностных волнах в спектре рассеянного света могут появиться и дополнительные линии.

Так как частоты тепловых колебаний при исследованиях мандельштам-бриллюэновского рассеяния обычно находятся в пределах гиперзвукового диапазона, для него характерен брэгговский режим дифракции. При этом частоты рассеянного света равны

и угол определяется из соотношения (2.11), которое для рассматриваемого случая удобно переписать в виде

В выражении (4.1) знаки «+» и «-» соответствуют двум возможным направлениям распространения тепловых мод, характеризуемых индексом поляризации (квазипродольная и квазипоперечные моды), — фазовая скорость моды, с — скорость света в вакууме, К — волновой вектор звука. Из (4.1) и (4.2) легко получить выражение для относительного сдвига частоты:

в котором через обозначен угол рассеяния. Нетрудно видеть, что по положению дублетов мандельштам-бриллюэновского

рассеяния в эксперименте можно определить скорость звука в заданном направлении.

Кроме значений частот , большой интерес с точки зрения интерпретации экспериментальных данных представляют спектральные распределения интенсивностей дублетов. Для их расчета нужно знать автокорреляционную функцию для рассеянного света

по которой с помощью преобразования Фурье, в соответствии с теоремой Винера — Хинчина, легко определить и интересующее нас спектральное распределение интенсивности . Так как рассеянное электрическое поле пропорционально деформациям, вызванным звуковыми волнами, то автокорреляционная функция (4.3), очевидно, будет пропорциональна автокорреляционной функции для упругих смещений в кристалле. Последнюю же можно записать в форме

где — амплитуды звуковых колебаний, временное затухание звуковых волн, или, на квантовом языке, обратное время жизни фононов. В рамках классического описания, справедливого при средняя энергия одной моды — постоянная

Больцмана)

равна откуда следует, что

где V — объем кристалла. Учитывая (4.4) и (4.5) в выражении для автокорреляционной функции рассеянного света (4.3) и вычисляя фурье-образ (подробнее об этом можно прочитать, например, в монографии [4]), нетрудно получить формулу для нормированной функции спектрального распределения интенсивности рассеянного света

где M — вектор, определяющий направление рассеяния и зависящий от упругооптических коэффициентов среды. Первое слагаемое в фигурных скобках (4.6) соответствует стоксовым компонентам

рассеяния, а второе — антистоксовым. Маномним, что в случае неограниченною кристалла имеется три дублета, отвечающие трем значениям индекса . Легко заметить, что обе компоненты мандельштам-бриллюэновского рассеяния имеют лоренцеву форму с характерной шириной пропорциональной временному затуханию акустических волн или обратному времени жизни фононов. Интересно отметить, что в рамках классического рассмотрения, с помощью которого получено выражение (4.6), интенсивности стоксовой и антистоксовой компонент одинаковы. При классическое рассмотрение перестает быть справедливым и необходимо использовать квантовый подход. Обычно это имеет место для 73 К. Анализ показывает, что в квантовой области интенсивности стоксовой и антистоксовой компонент перестают быть равными. А именно, интенсивность стоксовой (низкочастотной) линии при не зависит от температуры, а интенсивность антистоксовой линии стремится к нулю. Это объясняется тем, что процесс создания фонона за счет уничтожения фотона возможен и в отсутствие фононов, т. е. при низких температурах, в то время как рождение фотонов в результате уничтожения фононов, очевидно, невозможно без их наличия.