§ 2. Дифракция света на звуке. Раман-натовский и брэгговский режимы

Дифракцию, или рассеяние света на звуке феноменологически можно описать, если в уравнениях состояния среды учесть нелинейные перекрестные члены, отвечающие электромагнитному полю и упругим деформациям. Электромагнитная и акустическая волны должны при этом удовлетворять соответственно уравнениям Максвелла и механическому уравнению движения. Единственный перекрестный член, отвечающий за взаимодействие, появляется в уравнении состояния для индукции, которое будет теперь выглядеть следующим образом (см. также (11.2.3)):

где — тензор диэлектрической проницаемости, — тензор электрострикции, — пьезомодули. Член можно рассматривать как изменение 8 гц диэлектрической проницаемости, вызванное звуковой волной. Величину часто записывают через связанные с фотоупругие коэффициенты О свойствах симметрии тензоров можно прочитать, например, в монографиях [4, 14].

При обсуждении теории мы ограничимся случаем изотропных твердых тел или жидкостей При этом пьезоэффект отсутствует и из уравнений Максвелла и соотношения (2.1) нетрудно получить волновое уравнение для электрического поля [41:

Величину здесь нельзя выносить из-под знака дифференцирования, так как она меняется под действием акустической волны. Дальнейшее упрощение будет состоять в том, что электромагнитную волну мы будем считать слабой, а акустическую — достаточно интенсивной. При этом изменение интенсивности звука, обусловленное взаимодействием со светом за счет механизма электрострикции

(см. также (11.2.3)),

пренебрежимо мало и можно пользоваться приближением заданного звукового поля.

Решение поставленной задачи может быть получено различными методами, например с использованием функции Грина (как это обычно делается при анализе рассеяния звука на звуке [151) или с помощью непосредственного исследования дифференциального уравнения (2.2) с учетом краевых условий на границах пересекающихся пучков. Отдавая дань традиции [1, 3, 6, 16, 19], будем придерживаться последнего пут, предполагая, что модулируемую звуком диэлектрическую проницаемость среды можно представить в виде волны, распространяющемся вдоль оси

где Q и К — частота и волновое число звука, — постоянный фазовый сдвиг. В соответствии с теоремой Флоке решение для Е будем искать в виде

где и k — частота и волновое число световой волны, — медленно изменяющиеся функции, — средний коэффициент преломления среды, — угол падения света, отсчитываемый от нормали к звуковому пучку ширины L (рис. 13.1). Из выражения (2.5) следует, что член суммы, или, что то же, дифракционный порядок сдвинут по частоте на величину относительно частоты падающего света . С точки зрения нелинейного преобразования частоты этот факт вполне очевиден. Более простая (кинематическая) его трактовка состоит в том, что перемещение волновых фронтов звуковой волны приводит к доплеровским сдвигам частоты рассеянного света, причем значениям соответствует многократное рассеяние.

Рис. 13.1. Падение плоской электромагнитной волны на двумерный звуковой пучок.

Подставляя выражения (2.4) и (2.5) в волновое уравнение (2.2), для граничного условия нетрудно получить следующую систему связанных укороченных уравнений относительно описывающую перераспределение энергии падающего света между нулевым и высшими дифракционными

порядками

Здесь

Система уравнений (2.6) впервые была получена индийскими физиками Раманом и Натом в 1935 г. Полное решение этой системы получить сложно. Поэтому анализ проводят в двух предельных случаях: интересуясь в основном малыми значениями коэффициента перед в правой части (2.6), так как именно при этом условии происходит наиболее эффективная перекачка энергии из нулевого порядка в дифракционные.

Рис. 13.2. Дифракция Рамана — Ната.

Рассмотрим сначала случай . Поскольку число дифракционных порядков , которые нужно учитывать, обычно не превышает десятка, первое слагаемое в правой части (2.6) пренебрежимо мало вследствие малости Q. Это, однако, не относится ко второму слагаемому —а, которое даже для малых углов может быть достаточно большим из-за большой величины при что в большинстве случаев отвечает частотному диапазону МГц. В результате систему уравнений (2.6) можно переписать в несколько более простой форме:

которая допускает точное решение [161:

Здесь — функции Бесселя порядка. Полагая для нормированных интенсивностей дифракционных порядков получим

При нормальном падении света на звуковой пучок значение а равно нулю и из (2.7) следует

т. е. интенсивность падающего света довольно равномерно распределяется по дифракционным порядкам (рис. 13.2). Описанный режим дифракции при получил наименование раман-натовского.

Обсудим теперь случай Как нетрудно видеть, нулевые значения правой части уравнения (2.6) при этом могут иметь место

Для . В частности, для отсюда следует Более высокие значения , как будет видно из дальнейшего, в данном режиме дифракции можно не учитывать. При система (2.6) принимает вид

Решение (2.9) дает следующие значения нормированных интенсивностей

Таким образом, из (2.10) следует, что при энергия полностью перекачивается в первый дифракционный порядок. Это подтверждает высказанное выше предположение о возможности ограничения в (2.6) значениями Более точные расчеты, выполненные численными методами [161, показывают, что почти полная перекачка (98%) достигается уже при

Выражая а через угол нетрудно убедиться, что условиям соответствует формула

представляющая собой известное условие брэгговского рассеяния.

Рис. 13.3. Дифракция Брэгга.

Дифрагированный луч при этом, разумеется, отражается под тем же углом относительно нормали к волновому вектору звука (рис. 13.3). Такой режим дифракции принято называть брэгговским. Он характерен для высокочастотных акустических волн и (или) для широких звуковых пучков. Вообще же, говоря о границах реализации раман-натовского и брэгговского режимов, следует отметить, что условия использованные в приведенном анализе, оказываются слишком сильными. Численные расчеты показывают, что дифракция принимает раман-натовский характер уже при и брэгговский — при 10. О различных аналитических подходах к исследованию дифракции света на звуке при этих условиях можно прочитать в работах [17—19].

С точки зрения квантовой теории рассеяние света на звуке можно рассматривать как неупругое столкновение фотонов с фононами, при котором происходит либо уничтожение фотона и рождение фонона (рассеяние с понижением частоты, или стоксово рассеяние), либо уничтожение фонона и рождение фотона (рассеяние с повышением частоты, или антистоксово рассеяние). При этом законы сохранения энергии и импульса фотонов и фононов имеют вид

Поскольку то Но тогда из второго уравнения (2.12) следует условие (2.11) брэгговского рассеяния. Это естественно, гак как соотношения (2.12) выполняются для плоских волн.