§ 3. Плоская нелинейная волна в среде с диссипацией

Мы обсудили, как проявляется диссипация в экспериментах по искажению звуковых волн и по нелинейному поглощению. Рассмотрим теперь кратко теорию распространения волны конечной амплитуды в среде с диссипацией. В такой среде процессы зависят уже от двух безразмерных чисел — Маха и Рейнольдса. Нелинейные эффекты для плоской волны обычно проявляются при числе Рейнольдса, не слишком малом, таком, чтобы диссипация не могла помешать развитию нелинейности, определяемой числом Маха. Особенно существенны искажение формы плоских синусоидальных волн и генерация гармоник в маловязких жидкостях на ультразвуковых частотах при При распространении плоской волны в жидкости, обладающей диссипативными свойствами, процесс «укру-чения» будет происходить иначе, чем в среде, где диссипация отсутствует. При искажении волны, благодаря квадратичной зависимости поглощения от частоты, более высокие гармоники затухают сильнее и процесс искажения тормозится потерями. Ясно, что поглощение в такой волне должно быть значительно больше, чем для волны малой амплитуды.

Точного решения задачи о распространении плоской нелинейной волны в среде с диссипацией, в отличие от случая идеальной среды, не найдено. Поэтому приходится прибегать к приближенным

методам. Ограничиваясь членами второго порядка малости, полагая (квадратичное приближение), можно найти решение задачи непосредственно методом возмущений. Однако такие решения применимы обычно на расстояниях, малых по сравнению с длиной образования разрыва.

Имеются также приближенные решения уравнений гидродинамики вязкой теплопроводящей сжимаемой жидкости, представляющие аналог простых волн, бегущих в одном направлении. Такие волны называют квазипростыми. Уравнения для них можно получить, если учесть нелинейные члены второго порядка малости, а коэффициенты вязкости и теплопроводности считать членами первого порядка малости. Линейные диссипативные члены будут тогда второго порядка малости, а нелинейные диссипативные члены — третьего порядка малости, которые можно опустить. В рамках такого приближения эволюция слабозатухающей нелинейной волны описывается уравнением (1.14), правая часть которого уже не нуль, как для простой волны в среде без диссипации, а содержит член, учитывающий потери: Выпишем это уравнение полностью (более подробно о его выводе см. в [II):

В сопровождающей системе координат это уравнение записывается в виде

Если диссипация отсутствует, то правые части (3.1), (3.2) обращаются в нуль и мы приходим опять к уравнениям для простой волны. Уравнение (3.2), описывающее поведение квазипростой волны, носит название уравнения Бюргерса [181. Оно обладает замечательным свойством: при помощи подстановки Хопфа — Коула [19]

его удается преобразовать в линейное уравнение типа теплопроводности:

которое, как известно, имеет точное решение. Уравнение Бюргерса приближенное; оно в прпнципе дает возможность детально (во втором приближении) проследить за эволюцией плоской нелинейной волны в среде с диссипацией.

Так, на основе уравнений (3.1) или (3.2) могут быть решены задачи об эволюции профиля исходной синусоидальной или непериодической волны по мере ее распространения и даны ответы на вопросы, какова ширина фронта возникающей слабой ударной волны, каково добавочное (нелинейное) затухание и т. д.

Решения уравнения Бюргерса могут быть получены при что является существенным достоинством метода.

Хотя получение точных решений уравнения Бюргерса и оказывается возможным, в ряде случаев это представляет довольно громоздкую процедуру.

Остановимся кратко на приближенных решениях. Рассмотрим сначала случай и воспользуемся методом последовательных приближений. Полагая причем найдем из (3.2) для первого приближения

где — постоянная поглощения волны малой амплитуды. Если при задана гармоническая волна и , то решение получается в виде (2.2.1), с которым мы уже имели дело раньше.

Уравнение для второго приближения будет иметь вид

Отыскивая решение этого уравнения в виде получим для обыкновенное неоднородное дифференциальное уравнение

Считая, что при имеется только волна частоты со, а вторая гармоника отсутствует, получаем решение уравнения (3.6) в виде

Когда диссипация в среде отсутствовала (§ 1 гл. 3), то, согласно формуле (1-27), вторая гармоника возрастала пропорционально . В рассматриваемом случае диссипативной среды на расстоянии стабилизации (где нелинейный рост компенсируется диссипацией) имеется максимум для амплитуды второй гармоники; некоторое расстояние искаженная волна проходит, не меняя своей формы, после чего ее амплитуда начинает убывать, так как подкачка энергии из основной волны становится меньше, чем диссипативные потери. Заметим, что на расстояниях когда тогда как линейная волна частоты убывает быстрее. Это происходит из-за непрерывной подкачки энергии от первой гармоники во вторую.

Другое интересное решение уравнения Бюргерса, которое может быть получено без обращения к точному общему решению этого уравнения, соответствует . В этом случае можно воспользоваться поэтапным рассмотрением процесса эволюции волны. Отметим сначала, что в сопровождающей системе координат формула (1.25) записывается в виде

Если воспользоваться малостью М и сохранить лишь линейные по М члены в этом выражении, то тогда во втором приближении получим

Если в соответствии с (1.19) ввести безразмерное расстояние, равное числу длин образования разрыва то это выражение запишется в виде

При малых х волна мало отличается от простой волны и решение совпадает с тем, которое мы записали для v выше.

Когда волна переходит в пилообразную, она стабилизируется на некотором расстоянии поскольку при таких х конкуренция нелинейности и диссипации вносит примерно одинаковый вклад в эволюцию формы волны. В этом случае в уравнении Бюргерса можно пренебречь производной и упрощенное уравнение

после двухкратного интегрирования по дает

где — постоянная интегрирования. Решение (3.10) описывает стационарное возмущение, распространяющееся в нелинейной диссипативной среде без изменения своей формы. Это возмущение представляет собой слабую ударную волну (скачок скорости от до ) с конечной шириной фронта, равной

Точное решение уравнения Бюргерса дается выражением (решение Хохлова) [20, 21]

Безразмерная ширина фронта, как можно показать, в области стабилизации волны описывается формулой ширина зависит от расстояния Убывание амплитуды пилообразной волны при как это следует из (3.11), дается формулой

Как видно, при амплитуда волны не зависит от Это означает, что образование пилообразной волны (в силу ее большого поглощения) ограничивает передачу через среду большой мощности, какой бы эта мощность у источника (при ) ни была. После того как пила образовалась, она быстро затухает. Формула (3.11) допускает разложение в ряд Фурье (решения Фэя) [22]:

которое дает возможность при больших проследить за поведением гармоник.

Нелинейный коэффициент затухания пилообразной волны, определяемый формулой (3.12), при достаточно большой интенсивности исходной волны и не слишком малом может в таких маловязких жидкостях, как вода, спирты, в мегагерцевом диапазоне частот на один — два порядка превышать коэффициент затухания волн малой амплитуды а. Этот нелинейный коэффициент, согласно (3.11), имеет величину и может намного превышать а. Так, например, на частоте 1,5 МГц и при интенсивности проводится подробное рассмотрение затронутых здесь вопросов, в частности приводятся решения в виде геометрических построений для определения эволюции профиля нелинейной волны, выражения для амплитуд гармоник более высоких номеров, чем второй.