§ 3. Отражение и преломление продольных и поперечных волн

Выше мы рассматривали волны в однородном безграничном пространстве. Наличие неоднородностей значительно усложняет анализ. Однако именно с неоднородными средами чаще всего приходится иметь дело. Простейшими и в то же время важными моделями неоднородностей являются границы раздела, описывающие резкое изменение параметров среды на малом участке пространства. В этом случае расчет значительно упрощается, так как в каждой из однородных областей можно пользоваться соответствующими волновыми уравнениями. Полученные решения «сшиваются» с помощью граничных условий, выражающих собой непрерывность напряжений и смещений на границах раздела. Для свободной поверхности граничное условие следует из условия механического равновесия, заключающегося в равенстве нулю суммы сил, действующих на поверхность. Отсюда где — вектор единичной нормали к поверхности. В случае абсолютно жесткой границы граничное условие имеет вид . Для границы, допускающей скольжение, должно быть , где .

Мы рассмотрим наиболее важный случай плоских границ раздела. Отражение и преломление плоских волн в твердых телах происходят по более сложным по сравнению с жидкостью законам. Это связано с существованием в твердой среде как продольных, так и поперечных волн. Поэтому при падении на границу раздела чисто продольной или чисто поперечной волны результирующие поля, вообще говоря, содержат как продольные, так и поперечные волны. Очевидно, характер волны не меняется при нормальном падении или в случае падения под произвольным углом поперечной волны горизонтальной поляризации, вектор смещения которой параллелен границе раздела; это следует из условий симметрии задачи. Соотношения, определяющие направления отраженной и преломленной волн, также могут быть получены из соображений симметрии,

согласно которым касательные к поверхности раздела компоненты k волнового вектора не должны изменяться, т. е.

    (3.1)

Выражение (3.1) представляет собой общую запись закона Снеллиуса, из которой, в частности, следует, что направления отражения и преломления лежат в плоскости падения. Расписывая (3.1) для случая падения на границу раздела продольной волны, волновой вектор которой составляет угол с нормалью (рис. 8.1, а), получим (3.2)

Рис. 8.1. Взаимодействие продольной (а) и поперечной (б) волн с границей раздела.

Таким образом, как и следовало ожидать, для продольной волны угол отражения равен углу падения 0, а угол преломления определяется равенством

ничем не отличающимся от случая жидкости. Для образующейся на границе поперечной волны (только в этом случае можно удовлетворить граничным условиям) изменяется как угол преломления 0, так и угол отражения

В случае падения поперечной волны вертикальной поляризации (рис. 8.1, б) приведенные выше выводы остаются в силе, а соответствующие выражения, связывающие угол падения с углами отражения и преломления, получаются из взаимной заменой индексов

Для расчета величин коэффициентов отражения и преломления необходимо полностью решать граничную задачу. Сделаем это для важного частного случая отражения волн от свободной границы. Будем рассматривать падение продольной волны или поперечной волны, поляризованной в плоскости падения, — волны вертикальной

поляризации. При отражении поперечной волны с горизонтальной поляризацией, как уже упоминалось, трансформации волн не происходит и законы отражения и преломления принципиально не отличаются от случая жидкости. В частности, коэффициент отражения от свободной границы для смещений при этом всегда равен единице.

Пусть на границу падает гармоническая продольная волна (рис. 8. 1, а), характеризуемая потенциалом где множитель опущен. Отраженную продольную волну можно записать в виде , где — коэффициент отражения продольной волны. Аналогично для отраженной поперечной волны , где . Граничные условия имеют вид Выражая через с помощью закона Гука (1.11), запишем с учетом (2.8) и (2.9)

Подставляя выражения и в (3.5), получим откуда

Аналогичные выражения для коэффициентов отражения нетрудно получить и в случае падения поперечной волны вертикальной поляризации (рис. 8.1, б):

От формул (3.6) и (3.7) часто переходят к записи, содержащей только углы падения . Для этого достаточно разделить числители и знаменатели на и воспользоваться законом Снеллиуса. Мы, однако, не будем здесь останавливаться на этой простой процедуре, предоставляя ее читателю в качестве самостоятельного упражнения.

Интересная особенность процессов отражения продольных и поперечных волн заключается в наличии углов падения 0, для которых , т. е. тип волны при отражении полностью трансформируется. Соответствующие углы находятся из решения уравнения получающегося приравниванием нулю числителей выражений для в (3.6) и (3.7), относительно k. Это уравнение имеет не более двух корней [8], соответствующих двум

возможным углам падения (по аналогии с оптикой их часто называют углами Брюстера). Число корней зависит от коэффициента Пуассона среды а: при действительные корни отсутствуют, при имеется один корень, а при два корня, соответствующих углам Брюстера Например, для продольной волны в материале с коэффициентом Пуассона имеем Для поперечной волны в том же материале Рассмотренное явление используется на практике для трансформации продольной волны в поперечную и наоборот.

Другая интересная особеннссть наблюдается при отражении вертикально поляризованной поперечной волны, если угол падения последней превышает так называемый критический угол . Этот случай аналогичен полному внутреннему отражению в жидкости [8]: отраженная продольная волна становится при этом неоднородной волной, экспоненциально убывающей в направлении положительных , а модуль коэффициента отражения поперечной волны становится равным единице.