§ 6. Поверхностные волны в кристаллах

Об основных особенностях распространения поверхностных акустических волн в кристаллах уже упоминалось в гл. 8 при обсуждении типов поверхностных волн.

Здесь мы остановимся на этом более подробно, ограничившись для простоты случаем однородных кристаллов без пьезоэффекта.

Рис. 9.7. Геометрия задачи о распространении поверхностных волн.

Выберем систему координат с осью , направленной по внешней нормали к плоской поверхности кристалла (рис. 9.7), и будем искать решения уравнения (1.2) в виде волн с прямолинейным фронтом, убывающих в направлении отрицательных Иными словами, предположим, что решения

являются линейными комбинациями членов вида

которые удовлетворяют уравнению (1.2) и однородным граничным условиям при

Очевидно, решения (6.1) будут носить характер поверхностной волны только в том случае, если величина в каждом члене линейной комбинации будет иметь отрицательную мнимую часть, обеспечивающую необходимое убывание амплитуды. Поэтому для поверхностной волны удобно считать, что волновой вектор к имеет только поверхностные компоненты и рассматривать ) как амплитудные множители. Даже в том случае, когда содержит и действительную часть, формально можно считать, что волновой вектор параллелен свободной поверхности. Если теперь выражение (6.1) с заданными подставить в (1.2), то получим то же самое характеристическое уравнение, что и в случае объемных волн:

в котором, однако, величина заранее не определена. Поскольку характеристики поверхностных волн поддаются аналитическому расчету лишь для небольшого числа высокосимметричных срезов и направлений в кристаллах [14, 15], имеет смысл сразу перейти к общей формулировке задачи, обычно используемой при численном решении. В этом случае удобно рассматривать (6.3) не как уравнение третьей степени относительно с параметром а как уравнение шестой степени относительно с параметром . Так как коэффициенты перед степенями в (6.3) действительны, то в общем случае для каждого значения v это уравнение имеет три пары комплексно-сопряженных корней (в случае изотропной среды все корни чисто мнимые). Корни, лежащие в верхней полуплоскости комплексного переменного соответствуют волнам, нарастающим с глубиной, и поэтому должны быть отброшены. В соответствии со сказанным решение для поверхностной волны запишем в виде линейной комбинации членов (6.1), каждый из которых имеет одинаковую фазовую скорость, но различные значения равные корням уравнения (6.3):

Величины в (6.4), разумеется, должны быть нормированными собственными векторами уравнения (1.2), соответствующими собственному значению и корням Коэффициенты и значение скорости v, пока выбранное нами произвольно, определяются из граничных условий (6.2), которые можно записать в форме

Подстановка предполагаемого решения (6.4) в граничные условия (6.5) дает систему трех однородных уравнений относительно неизвестных коэффициентов Необходимым условием существования нетривиального решения этой системы является обращение в нуль ее определителя, содержащего девять членов:

где Поскольку величины полностью определяются выбранным значением т. е. оказываются заданными, весьма маловероятно, что определитель сразу же обратится в нуль. Поэтому в общем случае приходится подбирать последовательные значения фазовой скорости v до тех пор, пока требуемое равенство не будет выполняться с необходимой степенью точности. В рамках описанного подхода с помощью ЭВМ выполнена большая часть расчетов скоростей и амплитуд поверхностных волн для различных направлений и срезов кристаллов.

Отметим, что при использованной нами постановке задачи собственные векторы отвечающие выбранному значению скорости v, могут быть комплексными. В общем случае это приводит к комплексности определителя граничных условий . В процессе же осуществления итерационной процедуры необходимо обращать в нуль и действительную, и мнимую его части. Причем совершенно неочевидно, что действительная и мнимая части могут одновременно обратиться в нуль при одном и том же значении v. По этой причине в первых работах по поверхностным волнам в кристаллах рядом авторов (см., например, [14]) было высказано предположение, что такое совпадение оказывается случайным, так что поверхностные волны не существуют в произвольно выбранных направлениях поверхности кристалла. Однако численные расчеты и экспериментальные исследования показали, что практически во всех исследованных направлениях различных кристаллов всегда существует значение v, соответствующее поверхностной волне. Таким образом, оказывается, что действительная и мнимая части определителя граничных условий так взаимосвязаны, что обращение в нуль одной из них влечет равенство нулю другой. Не так давно этот факт был подтвержден аналитически, и тем самым были строго доказаны существование и единственность решений в виде поверхностных волн в кристаллах [16—18], в том числе и в пьезоэлектрических [18], для произвольного направления, за исключением некоторых особых направлений, в которых граничные условия могут быть удовлетворены чисто сдвиговой объемной волной. О существовании или несуществовании поверхностных волн вдоль таких особых направлений результаты [16—18] ничего не говорят. Имеются как примеры существования (например, рэлеевская волна в изотропном твердом теле или волна рэлеевского типа в направлении [100] плоскости (001) кубических кристаллов [14]), так и примеры несуществования (направление -среза пьезоэлектрического кристалла триклинной симметрии, граничащего со средой с нулевой диэлектрической проницаемостью [18]). Таким образом, для большинства направлений в кристаллах

изложенная итерационная процедура расчета параметров поверхностных волн является вполне обоснованной.

Выясним некоторые характерные особенности поверхностных волн, связанные с анизотропией, опираясь на результаты численных расчетов для кубических кристаллов [141. Как уже указывалось, матрица модулей упругости для кубических кристаллов имеет те же ненулевые компоненты, что и изотропное тело но для последнего Таким образом, величина

называемая фактором анизотропии, служит критерием отличия упругих свойств кристалла от свойств изотропной среды. Рассмотрим распространение поверхностных волн на плоскости (001) кристалла никеля . Расчеты показывают, что в направлении [100] скорость поверхностной волны равна а ее амплитуды смещений лежат в сагиттальной плоскости И спадают с глубиной, осциллируя (из-за наличия действительных частей ).

Рис. 9.8. Скорости квазипоперечных поверхностной S и псевдоповерхностной PS волн в случае распространения вдоль плоскости (001) никеля. В волне смещение параллельно плоскости (001).

Волны с такой структурой, напоминающие поверхностные волны Рэлея в изотропном твердом теле, обычно называют волнами рэлеевского типа. Заметим, что в этом же направлении со скоростью может распространяться и чисто сдвиговая объемная волна, поляризованная параллельно плоскости поверхности. Таким образом, направление [100] в рассматриваемом случае, как уже упоминалось, является особым. При отклонении вектора k на некоторый угол от направления кристаллографической оси [100] в полной мере начинает сказываться влияние анизотропии. Во-первых, волна имеет все три компоненты смещений, в соответствии с (6.4), и, во-вторых, вектор групповой скорости отклоняется от вектора волновой нормали. Угловая зависимость скорости v поверхностной волны представлена на рис. 9.8. В направлении [110] «медленная» объемная волна скорость которой при этом совпадает со скоростью поверхностной волны, снова удовлетворяет граничным условиям. В эту волну вырождается поверхностная волна в данном направлении. Но при этом появляется новая поверхностная волна рэлеевского типа (обозначена крестиком на рис. 9.8), фазовая скорость которой больше скорости сдвиговой волны (подобная ситуация возможна только в кристаллах). При отклонении от направления [110] эта волна становится затухающей вследствие излучения в объем

среды и, строго говоря, не является поверхностной. По этой причине волны такого типа называют волнами утечки или псевдоповерхностными волнами (см. гл. 8).

Для кристаллов с (например, для ) наиболее медленной объемной волной в плоскости (001) является волна с вектором смещения, перпендикулярным этой плоскости. Такая волна, очевидно, не удовлетворяет граничным условиям и поэтому поверхностная волна всюду существует, не вырождаясь в объемную. Псевдоповерхностная волна в этом случае отсутствует, и в направлениях [100] и [1101 распространяются волны рэлеевского типа. Если говорить о влиянии анизотропии на характеристики поверхностных волн вне указанных осей, то оно выражено более слабо, чем в случае