Глава 9. ОСНОВЫ КРИСТАЛЛОАКУСТИКИ

§ 1. Плоские упругие волны в кристаллах. Уравнение Кристоффеля. Квазипродольные и квазипоперечные волны

Изучение упругих волн в кристаллах, или, более точно, в монокристаллах, имеет фундаментальное значение для физики твердого тела и представляет собой основу многих современных научных направлений — квантовой акустики, акустоэлектроники, акусто-оптики и т. д. Если говорить о традиционных приложениях акустики твердого тела — ультразвуковых линиях задержки и фильтрах, то здесь использование монокристаллов позволяет существенно повысить рабочие частоты соответствующих устройств, так как затухание звука в этом случае значительно меньше, чем в изотропных телах, обычно представляющих собой поликристаллы.

Волновые явления в кристаллах, т. е. в средах с ярко выраженной анизотропией целого ряда физических свойств, характеризуются более сложными закономерностями по сравнению с изотропным случаем. Это легко показать уже на примере диэлектрических кристаллов, не обладающих пьезоэффектом или магнитоупругостью. Линеаризованное уравнение состояния кристалла (обобщенный закон Гука) в этом случае имеет вид

где — тензор упругих модулей, — линеаризованный тензор деформации. Как и при рассмотрении упругих волн в изотропном теле, под будем подразумевать адиабатические значения модулей упругости. Подстановка выражения (1.1) в общее уравнение движения

дает

откуда с учетом симметрии тензора по индексам k и вытекающей из симметрии тензора получаем следующее уравнение движения:

Это уравнение можно также записать в более компактной форме , которой мы будем в дальнейшем широко пользоваться. Будем искать решение этого уравнения в виде монохроматических плоских волн

где . Подставляя (1.3) в (1.2), получим

С помощью соотношения это уравнение можно переписать в виде

Если ввести обозначение , где — направляющие косинусы волнового вектора k или компоненты вектора волновой нормали, то (1.5) удобно переписать так:

где — пока не определенная фазовая скорость Уравнение (1.6), или, точнее, систему трех однородных алгебраических уравнений относительно неизвестных обычно называют уравнением Кристоффеля. Как известно, система однородных уравнений имеет нетривиальные решения только в тем случае, если определитель, составленный из коэффициентов при равен нулю:

Выражение (1.7), представляющее собой характеристическое уравнение для упругих волн в кристаллах, очевидно, определяет собственные значения симметричного тензора . Из условий упругой устойчивости кристалла следует, что этот тензор, называемый также тензором Кристоффеля, должен быть положительно определенным [1—31. Из этого в свою очередь вытекает, что все три собственных значения тензора — величины — тоже положительны. Таким образом, в любом направлении произвольного анизотропного кристалла могут распространяться три плоские волны с различными скоростями ). Подставляя поочередно каждый из корней в уравнение (1.6), найдем значения соответствующих смещений или собственных векторов тензора При этом в силу однородности уравнений (1.6) для каждого определяются, конечно, только соотношения между тремя компонентами . Все три собственных вектора соответствующие разным , взаимно ортогональны, причем в общем случае они расположены под некоторым углом как к волновой нормали так и к плоскости, к ней перпендикулярной. По этой причине в кристаллоакустике обычно не используется представление смещений с помощью скалярного и векторного потенциалов, столь распространенное при изученииволн в изотропных твердых телах.

Рис. 9.1. Векторы смещений для упругих волн в кристаллах: соответствует квазипродольной волне, квазипоперечным.

Принята следующая классификация: если вектор смещения волны близок по направлению к волновой нормали, то волна называется квазипродольной, если же вектор смещения почти перпендикулярен к волновой нормали, то волна называется квазипоперечной.

Обычно в кристаллах вдоль произвольного направления распространяется одна квазипродольная волна с вектором смещения и две квазипоперечные — с векторами смещения (рис. 9.1). Лишь в особых направлениях кристаллов, соответствующих плоскостям и осям симметрии, возможно распространение так называемых чистых волн, векторы смещения которых либо совпадают по направлению с k, либо перпендикулярны к нему. Напомним, что в изотропном твердом теле такая ситуация имеет место для любого направления распространения.