§ 6. Волны в пластинках и стержнях

Наряду с поверхностными волнами важную роль в приложениях играют волны, распространяющиеся в средах с двумя и более свободными границами. Простейшими примерами таких волн являются волны в изотропных пластинках и стержнях [1, 11, 44, 47, 61, 62].

Под пластинкой будем понимать упругую среду, ограниченную двумя свободными поверхностями . Поле потенциалов смещений в пластинке должно удовлетворять уравнениям (2.8), (2.9) и граничным условиям при

Непосредственной подстановкой можно убедиться, что уравнениям (2.8), (2.9) можно удовлетворить, если выбрать решение в форме [61]

где связаны друг с другом соотношениями

При этом выражения для упругих смещений в пластинках принимают вид

В записи (6.4) учтено, что потенциалы не зависят от у. Если теперь подставить ) в граничные условия (6.1) с учетом закона Гука, нетрудно получить характеристическое уравнение для нормальных волн в пластинке, левую часть которого можно представить в виде произведения четырех детерминантов:

Здесь введены обозначения: . Уравнение (6.5), очевидно, удовлетворяется при четырех независимых решениях, когда каждый из детерминантов обращается в нуль. Последнее соответствует четырем совокупностям волновых движений, представляющим собой семейства нормальных мод пластинки. Выпишем эти семейства в последовательности, соответствующей порядку произведения детерминантов в (6.5).

Семейство I:

Семейство II:

Семейство III:

Семейство IV:

Напомним, что дисперсионные уравнения для волн этих семейств представляют собой равенства нулю соответствующих детерминантов в (6.5).

Волны семейств I и II называют нормальными SH-волнами, так как смещения у них перпендикулярны к направлению распространения и параллельны поверхностям пластинки. При этом решение вида (6.6), очевидно, представляет антисимметричные коды, симметричные. Семейства III и IV соответствуют более сложным видам волнового движения. В частности, входящие в них волны содержат как продольные, так и поперечные смещения, которые все лежат в сагиттальной плоскости, т. е. в плоскости, проходящей через направление распространения и нормаль к поверхностям пластинки. Очевидно, в семействе III вектор смещения симметричен относительно плоскости х=0, а в семействе IV — антисимметричен. По этой причине волны этих семейств соответственно называют продольными нормальными волнами и изгибными волнами. Их также называют симметричными и антисимметричными волнами Лэмба, много сделавшего в исследовании этих волн.

Перейдем теперь к более подробному обсуждению некоторых типов нормальных волн в пластинках. Для антисимметричных -волн дисперсионное уравнение

имеет три решения: Так как первое решение тривиальное, а второе соответствует нераспространяющейся волне, то с физической точки зрения интересно только решение 3), которое удовлетворяется последовательностью чисел

Аналогично для симметричных -волн

С учетом уравнений (6.3) из (6.10) и (6.11) нетрудно получить выражение для фазовых скоростей с антисимметричных и симметричных -волн

где для антисимметричных волн и для симметричных волн. Из уравнения (6.12) следует, что -волны в пластинке обладают дисперсией и характеризуются наличием критических частот, ниже которых соответствующие моды становятся нераспространяющимися. Критическая частота отсутствует только у низшей (нулевой) симметричной моды, которая существует во всем диапазоне частот от 0 до Заметим, что -волны в пластинках близки по своим свойствам к нормальным волнам в жидких волноводах, ограниченных жесткими стенками.

Волны Лэмба более сложны для анализа, так как соответствующие трансцендентные дисперсионные уравнения могут быть разрешены

лишь численно. Для симметричных (продольных) мод дисперсионное уравнение можно записать в виде

а для антисимметричных (изгибных) — в виде

Рассмотрим некоторые предельные случаи. Пусть длина волны распространяющейся моды много больше толщины пластинки. При этом и из уравнений (6.13), (6.14) нетрудно получить выражения для предельной скорости низшей симметричной (продольной) волны в пластинке

а также для скорости низшей антисимметричной (изгибной) моды

Заметим, что выражения (6.15), (6.16) можно получить и более простым способом, если сразу считать пластинки бесконечно тонкими [1]. В другом предельном случае, при малых длинах волн, скорости обеих мод, низшей симметричной и низшей антисимметричной, стремятся к скорости рэлеевской волны . Физически это вполне очевидно. Графики зависимости скоростей двух указанных низших мод от величины изображены на рис. 8.7. Видно, что при малых или при низких частотах скорость изгибной моды стремится к нулю.

Рис. 8.7. Дисперсионные кривые для двух низших лэмбовских мод в пластинках.

Остановимся теперь вкратце на упругих волнах в стержнях. Общее решение этой задачи, аналогичное решению для пластин, в настоящее время неизвестно. Однако имеется ряд частных точных решений для некоторых случаев отношения ширины стержня к толщине и несколько приближенных решений [1, 61]. В частности, для очень тонких (по сравнению с длиной волны) стержней удобно непосредственно исходить из соответствующих приближенных уравнений движения [1]. Для случая растяжения стержня уравнение движения имеет вид

где Е — введенный ранее модуль Юнга. По этой причине продольные волны в стержнях часто называют юнговскими. Их фазовая

скорость, очевидно, равна т. е. она меньше скорости продольных волн в неограниченной среде. Для изгибных волн в таких стержнях уравнения движения срединных точек имеют вид [1]

где П — площадь сечения стержня, а — моменты инерции площади поперечного сечения стержня относительно проходящих через его плоскость осей Моменты определяются выражениями аналогично обычному определению момента инерции с той разницей, что вместо элемента массы под интегралом стоит элемент поверхности . Подстановка в уравнения (6.17) решений, записанных в форме

приводит к следующим соотношениям между частотой и постоянной распространения:

соответственно для колебаний вдоль осей . При этом фазовые скорости определяются выражениями

Кроме продольных и изгибных волн, в тонких стержнях могут также распространяться крутильные волны, удовлетворяющие уравнению [1]

где - момент инерции сечения стержня относительно его центра инерции, G — так называемая крутильная жесткость стержня, — угол кручения. Очевидно, крутильные волны бездисперсионны, а их скорость распространения равна