§ 2. Спиновые волны в ферро- и антиферромагнетиках

Существование спиновых волн (открыты Блохом в 1930 г.) в магнитоупорядоченных однодоменных кристаллах (обычно наличие доменов в таких кристаллах снимается внешним магнитным полем) обусловлено характерной для них сильной корреляцией между ориентациями спинов отдельных атомов, благодаря чему изменение ориентации спина в одной точке пространства распространяется в другие области в виде волн (рис. 14.2).

Рис. 14.2. Спиновые волны в линейной цепочке атомов.

С феноменологической точки зрения спиновые волны можно описывать с помощью вектора намагниченности, или, что то же, плотности магнитного момента . Уравнение движения для плотности магнитного момента, определяющее его изменение со временем, имеет следующий вид (см., например, [1]):

Здесь — так называемое гиромагнитное отношение, — магнетон Бора, эффективное магнитное поле, действующее на магнитный момент, которое формально можно ввести с помощью функциональной производной от полной магнитной энергии магнитоупорядоченного кристалла по вектору намагниченности

Если внешнее магнитное поле постоянно и обменная связь между атомами в кристалле отсутствует (случай парамагнетика), т. е. то уравнение (3.1) будет описывать вращение (прецессию) вектора намагниченности М относительно направления внешнего поля с частотой которая называется частотой магнитного резонанса. Модуль вектора М и его проекция на направление магнитного поля при этом сохраняются, что соответствует сохранению магнитной энергии

При наличии обменной связи между атомами в кристалле, а именно этот случай и будет нас интересовать, необходимо полностью выписать выражение для что мы проделаем для случая ферромагнитных кристаллов. При изложении этого вопроса мы будем следовать монографии [1], по возможности придерживаясь принятых там обозначений.

Рассмотрим сначала случай ферромагнетика. Выражение для магнитной энергии при этом можно записать в виде

    (2.3)

где величина под интегралом описывает плотность энергии обменного, магнитного дипольного и спин-орбитального взаимодействий, второй член характеризует только энергию магнитного дипольного взаимодействия (величина НШ) представляет собой поле, создаваемое магнитными моментами атомов — так называемое поле размагничивания), а третий член — энергию ферромагнетика в стороннем постоянном магнитном поле Функция F имеет вид

где — обменные постоянные, — некоторая функция от отвечающая в основном энергии обменного взаимодействия, — плотность энергии магнитной анизотропии. Для одноосных ферромагнетиков где п — единичный вектор, направленный вдоль оси анизотропии, — постоянная, которая может быть как положительной, так и отрицательной. В случае ферромагнетик обладает анизотропией типа «легкая ось» (энергия WM минимальна при ), а в случае — «легкая плоскость» (энергия WM минимальна при ) (см., например, [6]). Заметим, что выражения (2.3) и (2.4) для магнитной энергии ферромагнетика, строго говоря, справедливы только для статических полей. Однако ими можно пользоваться и тогда, когда величины и М медленно изменяются со временем. При этом в уравнениях Максвелла удобно перейти к приближению магнитостатики:

Из (2.2) — (2.4) можно получить выражение для эффективного магнитного поля

откуда

где магнитное поле внутри кристалла.

Интересуясь малыми колебаниями плотности магнитного момента М и магнитного поля относительно равновесных значений представим их в виде

Будем искать решения длят в виде плоских гармонических волн:

Подстановка (2.8) в (2.7), (2.6) и (2.1) позволяет получить следующее линейное соотношение между компонентами

и

где тензор называемый тензором высокочастотной магнитной восприимчивости ферромагнетика, зависит от и взаимной ориентации векторов k и Подстановка (2.7), (2.8) с учетом (2.9) в (2.5) позволяет получить дисперсионное уравнение для спиновой волны

Раскрывая можно показать, что при где а максимальное значение (это соответствует частотам , выражение (2.10) существенно упрощается:

и в изотропном случае принимает вид

где а — постоянная решетки.

Схематическое изображение дисперсионной зависимости для спиновых волн, соответствующей уравнению (2.10), представлено на рис. 14.3. Видно, что при малых k частота мало отличается от , которую называют частотой ферромагнитного резонанса. С возрастанием k значение со растет квадратичным образом согласно формулам (2.11) и (2.12). Отметим, что волны с векторами k, соответствующими области , в литературе часто называют магнитостатическими [9, 101. Свойства их сильно зависят от состояния границ кристалла.

Рис. 14.3. Дисперсионная зависимость для спиновых волн в ферромагнетике.

Отметим, что для спиновых волн (тепловых или когерентных) на квантовом языке употребляют термин магнон — квант магнитной энергии, подобно тому как для дебаевских волн и когерентных акустических волн используется термин фонон — квант упругой энергии. Магноны, так же как и фононы, подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна и вносят свой вклад в теплоемкость и теплопроводность магнитоупорядоченных кристаллов.

Затухание спиновых волн происходит как в результате взаимодействий волн между собой, так и с дефектами и тепловыми колебаниями кристаллической решетки. Многочисленные механизмы затухания могут быть учтены феноменологически. Для этого в уравнение для намагниченности (2.1) нужно добавить аддитивный релаксационный член R, который, в частности, можно задать в форме [1]

где константы с размерностью времени. Решая уравнение (2.1) с учетом (2.13) для одноосного ферромагнетика в случае, когда магнитное поле направлено вдоль оси легкого намагничивания, можно показать, что вектор М прецессирует с затуханием, приближаясь к своему равновесному значению Параллельная по отношению к внешнему магнитному полю и перпендикулярная составляющие добавки релаксируют при этом с различными временными декрементами — соответственно Величины называют продольным и поперечным временами релаксации намагниченности.

Нетрудно получить линейное соотношение между Лише учетом диссипации, по форме совпадающее с (2.9). Однако величины в этом соотношении получат комплексные добавки в знаменателях. В результате функция , согласно (2.10), тоже станет комплексной, причем действительная часть будет описывать частоту, а мнимая — временное затухание.

Остановимся теперь вкратце на распространении спиновых волн в антиферромагнетиках. Магнитная энергия антиферромагнетика может быть записана в виде, аналогичном (2.3), однако соответствующие плотности энергии будут теперь зависеть от магнитных моментов подрешеток Для некоторых антиферромагнетиков к величине нужно добавить дополнительное слагаемое , впервые введенное И. Е. Дзялошинским. Здесь d — константа того же порядка, что и . Наличие энергии приводит к тому, что в отсутствие внешнего магнитного поля магнитные моменты подрешеток ориентированы не точно противоположно друг другу и полный момент антиферромагнетика отличен от нуля. По этой причине такие среды называют антиферромагнетиками со слабым ферромагнетизмом. Поскольку, однако, энергия так же как и , имеет не обменную, а релятивистскую природу, этот остаточный магнитный момент очень мал. Тем не менее в ряде случаев (§ 5) его роль значительна.

Для феноменологического описания спиновых волн в антиферромагнетиках необходимо использовать уравнения движения намагниченности для каждой из подрешеток. В простейшем случае таких уравнений будет два:

где эффективные магнитные поля, действующие на магнитные моменты и определяемые с помощью соотношений

Поступая далее аналогично случаю ферромагнетиков, можно получить по форме совпадающее с (2.9) линейное соотношение между компонентами суммарного переменного магнитного момента антиферромагнетика и магнитного поля . Тензор будет теперь, однако, иметь другой вид.

Спектр спиновых волн в антиферромагнетиках можно определить

по известным из общего дисперсионного уравнения (2,10) которое справедливо как для ферро-, так и для антиферромагнетиков. В отличие от ферромагнетиков, в антиферромагнетиках заданному волновому вектору к соответствует не одна, а две частоты, т. е. имеются две ветви спиновых волн. Другое отличие проявляется в том, что для больших волновых чисел частоты обеих спиновых волн пропорциональны не квадрату волнового вектора, а его первой степени.