§ 4. Поверхностные волны Рэлея

Обратимся снова к задаче о падении продольной и поперечной волн на свободную границу твердого тела. Здесь может возникнуть необычная ситуация. Как следует из формул (3.6), (3.7), отраженные волны имеют бесконечные амплитуды при

Разделив это уравнение на и решая его относительно нетрудно показать, что на физическом листе римановой поверхности оно имеет лишь один нетривиальный вещественный корень причем этот корень лежит между 0 и 1. Последнее означает, что падающие и отраженные волны являются неоднородными, так как их следы, или проекции волнового движения на выбранную ось — ось х, распространяются медленнее продольных и поперечных волн. Углы падения и отражения оказываются при этом комплексными, а сами волны затухают в направлении нормали к поверхности. Поскольку амплитуды отраженных волн принимают бесконечные значения при конечных амплитудах падающих волн, получающееся отраженное поле можно интерпретировать как самостоятельную поверхностную волну сложной структуры, существующую в твердом теле [8]. Рассматривая потенциалы отраженных волн как потенциалы искомой поверхностной волны, в соответствии с формулами (3.6) представим их в виде (отбрасывая общие знаменатели У коэффициента отражения)

— произвольная амплитуда поверхностной волны, — действительный корень

уравнения (4.1), которое обычно записывают в форме

Это уравнение носит название уравнения Рэлея, впервые предсказавшего существование поверхностных волн в твердом теле [9], а сами эти волны называют рэлеевскими. Воспользовавшись (4.1), можно упростить выражение в квадратных скобках (4.2) и, сократив на переписать в более простом виде:

Таким образом, рэлеевская волна распространяется вдоль поверхности с фазовой скоростью меньшей скорости сдвиговой объемной волны. Значение зависит от коэффициента Пуассона среды и монотонно изменяется от при до при (рис. 8.2). Амплитуды потенциалов рэлеевской волны связаны соотношением

Переходя от потенциалов к смещениям, получим

Видно, что амплитуды их и убывают в слое толщиной , т. е. волна оказывается существенно поверхностной. Поскольку компоненты смещений в рэлеевской волне сдвинуты по фазе на траекториями движения частиц являются эллипсы. В используемой нами системе координат (рис. 8.1) вращение частиц (относительно наблюдателя, расположенного за плоскостью рисунка) происходит против часовой стрелки при распространении волны в положительном направлении оси

Рис. 8.2. Зависимость относительной скорости рэлеевской волны от коэффициента Пуассона среды.

Мы подошли к понятию поверхностных волн, исходя из задачи об отражении. Более прямым и строгим подходом является непосредственное отыскание решения поставленной краевой задачи в виде поверхностных волн [9—12]. Вследствие важности этого подхода для рассмотрения других типов поверхностных волн мы воспроизведем основные его черты. Задача при этом состоит в

нахождении решения волновых уравнений

затухающего по глубине тела и удовлетворяющего граничным условиям . Будем искать его в виде

    (4.5)

где — пока не определенные комплексные константы, а Очевидно, при записи решения для поверхностных волн в виде (4.5) априорно предполагается, что . Ниже мы увидим, что это действительно может иметь место. Непосредственной подстановкой легко проверить, что выражения (4.5) удовлетворяют волновым уравнениям. Подставляя (4.5) в граничные условия (3.5), получим соотношения между используя которые легко найти окончательные выражения для искомых потенциалов, совпадающие с полученными ранее формулами (4.4). При этом величина удовлетворяющая записанному выше неравенству, определяется из уже знакомого нам характеристического уравнения Рэлея.

Остановимся вкратце на некоторых свойствах рэлеевских волн. Прежде всего отметим, что они имеют много общего с волнами на поверхности жидкости. Действительно, в обоих случаях частицы движутся по эллипсам, лежащим в сагиттальной плоскости, т. е. плоскости, проходящей через волновой вектор и нормаль к поверхности, а амплитуды смещений частиц экспоненциально убывают с глубиной . Общность становится особенно заметной, если при решении задачи о волнах Рэлея учесть влияние силы тяжести или сил поверхностного натяжения [13]. Для ультразвуковых частот влиянием силы тяжести можно пренебречь и дисперсионное уравнение для волн Рэлея приобретает вид

отличающийся от (4.3) наличием дополнительного члена, обусловленного поверхностным натяжением твердого тела Нетрудно убедиться, что в предельном случае (или ), соответствующем идеальной жидкости, из (4.6) следует дисперсионное уравнение для чисто капиллярных волн в сжимаемой жидкости:

Отсюда при получается известное дисперсионное уравнение для капиллярных волн в несжимаемой жидкости (1.6.8):

В общем случае произвольного твердого тела поверхностное натяжение приводит к слабой дисперсии скорости рэлеевской волны [13], что, по-видимому, может быть использовано для экспериментальных оценок величины поверхностного натяжения твердых тел.

Поверхностный характер рэлеевских волн отчетливо проявляется в их зависимости от геометрии поверхности. Наиболее важной и простой иллюстрацией этой зависимости являются рэлеевские волны на кривых поверхностях [10], в частности волны на круговых цилиндрических поверхностях, распространяющиеся в направлении, перпендикулярном к образующей [10—12, 14]. В этом случае потенциалы гармонических волн ищутся в виде

для выпуклого цилиндра и

для вогнутого цилиндра, где — функция Бесселя порядка — полярный угол, а угловое волновое число связано с k очевидным соотношением , где R — радиус цилиндра, Н — функция Ханкеля первого рода порядка . Подстановка и в граничные условия, записанные в полярных координатах, дает соответствующие дисперсионные уравнения, из которых следует, что скорости рэлеевских волн на цилиндрических поверхностях отличаются от их скорости на плоской поверхности. В частности, для гладких поверхностей, т. е. при справедлива приближенная формула [111

где — волновое число рэлеевской волны на плоскости, — положительная константа, зависящая от коэффициента Пуассона среды. Нетрудно видеть, что для выпуклого цилиндра скорость рэлеевской волны увеличивается по сравнению с ее скоростью на плоскости, а для вогнутого — уменьшается. Для вогнутого цилиндра характерно также слабое затухание за счет излучения в объем среды [11, 12], не описываемое выражением (4.8). Если кривизна достаточно велика, т. е. , то объемное излучение становится интенсивным и имеет место в обоих случаях. Этот факт важен для понимания процессов рассеяния рэлеевских волн на топографических неоднородностях [15—17] и, в частности, их распространения вдоль шероховатой поверхности [18—20], играющей для рэлеевских волн роль случайно неоднородной среды. В общем случае поверхностей произвольной формы приближенное аналитическое решение может быть получено при , где — минимальный радиус кривизны. При этом фазовая скорость рэлеевской волны зависит от двух радиусов кривизны поверхности — вдоль и поперек траектории распространения [21, 22]. Интересно, что кривизна в общем случае приводит к анизотропии скорости рэлеевской волны (свойством изотропии обладает только поверхность сферы). Поэтому будет наблюдаться отклонение вектора групповой

скорости от вектора фазовой скорости. Это имеет место, например, при распространении поверхностной волны под произвольным к образующей кругового цилиндра углом 122]. Если радиусы кривизны поверхности зависят от координат, то рэлеевская волна будет испытывать рефракцию, отклоняясь в область с большей кривизной аналогично световым волнам в поле тяготеющих масс. Это явление используется в так называемых топографических Еолноводах [23].

Рэлеевские волны, будучи наиболее распространенным типом поверхностных акустических волн, играют важную роль в сейсмических явлениях [10], так как они расходятся при распространении от источника возмущения только в двух измерениях и поэтому затухают — обратно пропорционально корню из проходимого волной расстояния. Волны мегагерцевого диапазона широко используются в поверхностной дефектоскопии [11, 12, 24] и в акустоэлектронных устройствах обработки сигналов [25—29]. Гиперзвуковые рэлеевские волны используются при изучении физических свойств поверхности твердого тела [30].