§ 7. Учет дискретности кристаллической решетки. Акустическая активность и другие эффекты, обусловленные микроструктурой

До сих пор, рассматривая распространение волн в кристаллах, мы не принимали во внимание дискретную структуру кристаллической решетки. Так можно поступать до тех пор, пока длина акустической волны X остается много большей, чем постоянная решетки а, или до частот ~100 ГГц. Выше этого предела дисперсионные кривые, получаемые из уравнений классической теории упругости, уже плохо согласуются с микроскопическими расчетами, базирующимися на уравнениях динамики решетки. Поэтому, если оставаться в рамках феноменологических моделей механики сплошных сред, то уравнения состояния кристалла необходимо модернизировать для учета дискретности среды, макроскопически проявляющейся в нелокальности ее реакции на приложение переменного в пространстве внешнего воздействия. Это можно сделать с помощью так называемой нелокальной теории упругости [19], представляющей собой феноменологическое обобщение классической механики сплошной среды. Одно уравнение состояния элемента сплошной среды, описывающее как пространственную, так и временную нелокальность, уже приводилось нами при рассмотрении релаксационных процессов. Если не учитывать временную нелокальность (которая, в частности, ответственна за диссипацию энергии в среде), то для твердого тела нетрудно получить следующее уравнение состояния (нелокальный закон Гука):

где — ядра нелокальных упругих модулей. Вид зависимостей определяется обычно либо экспериментально, либо путем сравнения с результатами динамической теории решетки. Из общих соображений, однако, ясно, что заметно отличны от нуля лишь при т. е. а служит характерным размерным параметром среды.

Если поле достаточно медленно изменяется в пространстве, то от общей интегральной связи (7.1) можно перейти к уравнению состояния в дифференциальной форме, разлагая ) в степенной ряд в окрестности точки Если в разложении ограничиться только нулевым членом ряда, то получим обычное локальное соотношение

где, очевидно,

Учет последующих членов дает

    (7.3)

где . Легко заметить, что где . В большинстве практически интересных случаев ряд (7.2) быстро сходится и для описания всех возникающих эффектов обычно бывает достаточно ограничиться двумя первыми неисчезающими членами. О моделях, описываемых конечным числом членов ряда (7.2), иногда говорят как о моделях сред со слабой пространственной дисперсией. Несмотря на то, что при обычно используемых ультразвуковых и гиперзвуковых частотах члены с высшими производными от довольно малы, они приводят к качественно новым эффектам при распространении волн в кристаллах, которые вполне наблюдаемы и могут быть использованы для уточнения феноменологических уравнений состояния кристалла.

Одним из таких эффектов является акустическая активность [2, 5, 19—23] — акустический аналог оптической активности [24], заключающаяся в возникновении эллиптической поляризации плоских волн при их распространении в кристаллах без центра симметрии. В таких кристаллах материальные тензоры нечетных рангов отличны от нуля, в частности Для описания эффекта акустической активности в уравнении состояния (7.3) в случае нецентросимметричных кристаллов (их также называют акустически активными или гиротропными) достаточно ограничиться двумя первыми членами. При этом подстановка (7.3) в уравнение движения (1.2) дает

    (7.4)

Представляя решение (7.4) в виде плоских волн (1.3). получим так называемое уравнение Кристоффеля для акустически активных кристаллов:

    (7.5)

которое можно переписать в виде, аналогичном (1.5):

где модифицированный тензор Кристоффеля. Таким образом, влияние гиротропии приводит к появлению чисто мнимой добавки к невозмущенному тензору Кристоффеля. Так как поглощение в среде по-прежнему отсутствует, то комплексный тензор должен быть эрмитов, т. е. мнимая его часть должна быть антисимметричной по первым двум парам индексов [5]. В этом можно убедиться и непосредственно с помощью (7.2) и (7.3). Поскольку собственные значения эрмитова тензора есть величины действительные, то, как и ранее, условие нетривиального решения уравнения (7.6)

дает три действительных значения При этом, однако, собственные векторы получают мнимые добавки, означающие, что все три собственных волны будут эллиптически поляризованы (в большинстве случаев со слабой эллиптичностью ). Количественный расчет описанного явления для несимметричного направления распространения акустической волны можно выполнить методом возмущений, используя в качестве решения нулевого приближения в (7.6) значения и полученные без учета пространственной дисперсии [5]. Для направлений высокой симметрии расчеты могут быть проделаны непосредственно 121, 22]. Например, для оси кубических кристаллов, являющейся одновременно и акустической осью, следующее из (7.7) дисперсионное уравнение для чисто поперечных волн имеет вид

Здесь использована обычная одноиндексная форма записи Ьциш по первым двум парам индексов. Решение (7.8) дает два значения фазовой скорссти , которым соответствуют волны круговой поляризации с противоположными направлениями вращения. Следовательно, волна с первоначально заданной линейной поляризацией при прохождении расстояния будет поворачиваться на угол . В первом приближении по получим . Таким образом, вдоль «симметричных» акустических ссей акустическая активность выражена наиболее ярко и легче всего доступна наблюдению. По этой причине под акустической активностью часто понимают именно вращение плоскости поляризации волны при ее распространении вдоль акустических осей.

Первое непосредственное наблюдение акустической активности было осуществлено сравнительно недавно [23] (о последующих экспериментальных работах см. [5, 22]) на частотах 1,05-1,40 ГГц. При этом скорость вращения составляла 3—5 рад/см, а направление вращения было противоположным по отношению к направлению оптического вращения для того же случая.

Другим качественно новым эффектом, обусловленным влиянием дискретности решетки, является существование чисто сдвиговых

поверхностных волн в кристаллах с центром симметрии . Эти волны, амплитуды которых спадают с глубиной первоначально были предсказаны с помощью динамической теории кристаллической решетки [25, 26]. Последующие расчеты, выполненные в рамках феноменологической модели [27], показали, что рассмотренные поверхностные волны могут быть описаны, если в уравнении состояния (7.2) учесть тот факт, что из-за наличия свободной границы интегрирование по нормальной координате проводится только по половине действительной оси. При этом локальные модули упругости в приповерхностном атомарном слое толщиной оказываются меньшими по сравнению с модулями в объеме кристалла. Расценивая это уменьшение в смысле макроскопических поверхностных эффектов по Гиббсу [28], можно получить модифицированные граничные условия для упругих напряжений в объеме среды, отличающиеся от классической записи дополнительными «поверхностными» членами . Решение граничной задачи для уравнений (1.2) с описанными граничными условиями и приводит к существованию чисто сдвиговых поверхностных волн. Более общий случай, учитывающий также наличие начального напряженного состояния в приповерхностном атомарном слое (которое может быть описано с помощью понятия о поверхностном натяжении в смысле Гиббса) и изменение расстояния между соседними атомными плоскостями вблизи свободной границы, рассмотрен в работах [29, 30]. Причем в [30] проанализировано влияние поверхностных эффектов, связанных с дискретностью, на отражающие свойства поверхности и показано, что при падении как продольной, так и сдвиговой волн (речь идет об изотропном случае) соответствующие коэффициенты отражения получают аддитивные добавки . Из-за малости этих добавок на частотах влияние дискретности решетки на отражение более или менее заметно может проявиться только в исчезновении нулевого отражения при брюстеровских углах. Например, в случае падения продольной волны это имеет место для коэффициента отражения VH. При этом в общем случае существуют два рассчитываемых стандартным образом брюстеровских угла (см. гл. 8), для которых имеет ненулевые минимумы. Если в оптике похожее исчезновение нулевых эффектов при отражении изучалось экспериментально еще Рэлеем (см. [31]), то в кристалло-акустике такие эксперименты, по-видимому, еще не проводились. Между тем, так же как и эксперименты с гиперзвуковыми поверхностными волнами, они могли бы дать ряд полезных сведений о структуре приповерхностного атомарного слоя.

В сложных кристаллических решетках возможны и другие эффекты, связанные с микроструктурой среды. Прежде всего сюда следует отнести появление новых типов волн на очень высоких

частотах Гц [32, 33]) — так называемые оптические колебания (гл. 10). Для их феноменологического описания необходим учет внутренних степеней свободы среды [19]. Отметим, что непосредственный микроскопический расчет эффектов, связанных с внутренними степенями свободы для произвольных направлений в кристаллах оказывается громоздким и требует различных упрощающих предположений, зачастую далеких от реальности. Феноменологические же нелокальные теории, занимающие промежуточное положение между классической механикой сплошных сред и атомарными моделями, значительно облегчают анализ.