§ 4. Нелинейные акустические эффекты в кристаллах

По сравнению со случаем изотропных твердых тел нелинейная акустика кристаллов отличается большей сложностью и многообразием, что объясняется как анизотропией упругих свойств кристаллов, так и возможностью взаимодействия акустических волн с полями другой физической природы. Мы кратко опишем основные нелинейные эффекты, акцентируя внимание на тех из них, которые характерны именно для кристаллов и не встречаются в изотропных твердых телах. При этом из соображений простоты будем ограничиваться рассмотрением непьезоэлектрических кристаллов, за исключением тех ситуаций, когда наличие пьезоэффекта принципиально необходимо для осуществления тех или иных взаимодействий, например акустической волны с электрическим полем. Будем, кроме того, считать, что статические воздействия на кристалл отсутствуют, и можно использовать для его описания переменные естественного состояния . Тогда из уравнения движения (2.5) и уравнения состояния (2.3) нетрудно получить следующее нелинейное волновое уравнение:

где

Поскольку нелинейности кристаллов обычно малы, а их геометрические размеры ограничены, в большинстве случаев при решении уравнения (4.1), так же как и в случае изотропных твердых тел, достаточно ограничиться приближением заданного поля. При этом, полагая, что решение имеет вид

где решение первого приближения, получим после подстановки (4.2) в (4.1) линейное однородное уравнение для поля первого приближения:

и линейное неоднородное уравнение для поля второго приближения:

Уравнение (4.3) описывает процессы генерации второй гармоники и взаимодействия акустических волн в непьезоэлектрических кристаллах. В частности, для описания генерации второй гармоники положим, что решение первого приближения имеет вид собственной

волны (см. гл. 9):

где — единичный вектор поляризации волны, определяемый из решения уравнения Кристоффеля (9.1.6) для собственного значения . Подстановка (4.4) в (4.3) дает

где - так называемый вектор вынуждающей силы. В своих основных чертах (4.5) напоминает уравнение, описывающее генерацию второй гармоники в изотропных твердых телах. Аналогично изотропному случаю (см. (3.12)), решение уравнения (4.5), отвечающее нулевым начальным условиям, в случае синхронизма отражает линейное возрастание амплитуды второй гармоники поляризации с расстоянием [32]

В выражении (4.6) через обозначены компоненты вектора смещений второй гармоники в системе координат, связанной с главными осями тензора Кристоффеля — координата, отсчитываемая вдоль направления вектора , который, вообще говоря, не совпадает с осями указанной координатной системы, — нелинейный параметр, описывающий эффективность генерации, -матрица, составленная из единичных собственных векторов тензора Кристоффеля. Индекс в соответствует поляризации гармоники, поляризации волны j, основной частоты. Например, в случае генерации второй гармоники продольной волны, распространяющейся вдоль основных осей кубических кристаллов,

Характерной особенностью генерации гармоник в кристаллах оказывается то, что нелинейный параметр является существенно анизотропной величиной. Кроме того, в кристаллах возможна генерация второй гармоники сдвиговых волн. Напомним, что в изотропных телах (§ 3) симметрия тензора упругих модулей третьего порядка запрещает генерацию второй сдвиговой гармоники, по крайней мере в совершенных материалах. Для некоторых направлений в кристаллах генерация вторых гармоник сопровождается интересными поляризационными эффектами, связанными с тем, что условия синхронизма могут выполняться для обеих квазипоперечных волн ортогональных поляризаций [33]. Такими направлениями, очевидно, являются акустические оси. Например, для оси симметрии третьего порядка тригональных кристаллов (кварц, ниобат лития), являющейся акустической осью, компоненты вектора вынуждающей силы имеют вид

где — угол между осью и вектором смещения сдвиговой волны. Легко видеть, что при повороте вектора смещения в основной волне на угол вектор смещения волйы удвоенной частоты поворачивается

на . В какой-то мере это напоминает явление внутренней конической рефракции (см. § 5 гл. 9), при которой вектор потока энергии также поворачивается на двойной угол. Подобное сходство объясняется тем, что оба эффекта квадратичны по амплитудам волн (подробнее см. [341).

Генерацией сдвиговых гармоник в кристаллах объясняется и возможный в них особый тип нелинейного искажения формы упругой волны [35]. Как известно, в изотропных твердых телах распространение волны в нелинейной среде сопровождается укручением ее фронта и в конечном итоге превращением волны в пилообразную. На языке фурье-представлений это означает, что ее спектр обогащается высшими гармониками.

Рис. 11.1. Искажение формы сдвиговой волны в кристалле, связанное с генерацией гармоник ортогональной поляризации. Точками обозначен отрезок косинусоиды, лежащий в плоскости сплошной и штриховыми кривыми обозначены участки профиля волны, лежащие соответственно выше и ниже плоскости

Рис. 11.2. Дисперсионная диаграмма, иллюстрирующая типы коллинеарных взаимодействий акустических волн в кристаллах.

В кристаллах наряду с описанным классическим типом нелинейных искажений изменение формы волны может быть связано и с генерацией гармоник, векторы смещения которых ортогональны смещению основной волны. Такая ситуация может иметь место в уже рассмотренном случае генерации сдвиговых гармоник при распространении волны вдоль осей симметрии третьего порядка тригональных кристаллов. Например, при ориентации вектора поляризации основной волны вдоль оси (угол равен нулю) поляризация гармоники, как видно из выражения для вынуждающей силы оказывается ориентированной вдоль оси у. Появление гармоники с ортогональной поляризацией сказывается в том, что профиль смещений в сдвиговой волне выходит из плоскости и приобретает вид «ломаной спирали» (рис. 11.1).

Чрезвычайно многообразны явления, возникающие при взаимодействии в кристаллах акустических волн различных частот.

В этом легко убедиться хотя бы на примере коллинеарных взаимодействий, в результате которых генерируются водны суммарной или разностной частот. Если в случае изотропного твердого тела условия синхронизма разрешают коллинеарные взаимодействия только для волн одного типа, то в кристаллах, благодаря наличию трех скоростей упругих волн, возможны 10 типов коллинеарных взаимодействий, причем каждый из них реализуется в трех вариантах [32].

Проиллюстрируем сказанное с помощью дисперсионной диаграммы, на которой отложим линии, соответствующие фазовым скоростям продольной L, быстрой сдвиговой FT и медленной сдвиговой ST волн в кристаллах (рис. 11.2), распространяющихся в положительном и отрицательном направлениях оси х (индексы ). Рассмотрим один из десяти возможных типов взаимодействий — для волн Очевидно, что возможны следующие варианты взаимодействия этих волн.

1. . Нетрудно показать, что соотношение частот двух взаимодействующих волн должно при этом удовлетворять условию

Аналогично для двух других вариантов

Другие типы коллинеарных взаимодействий реализуются для волн, распространяющихся как в положительном, так и в отрицательном направлениях оси Некоторые из них наблюдались экспериментально в работе [36].

Неколлинеарные взаимодействия акустических волн в кристаллах также отличаются большим разнообразием по сравнению со случаем изотропных твердых тел. Так, если в изотропной среде возможно пять типов неколлинеарных взаимодействий, как это мы видели в § 3, то в кристаллах их число достигает 21. Из них в 13 случаях возбуждаются волны разностной частоты и в 8 случаях — суммарной [32, 37]. Кроме того, в случае достаточно сильной анизотропии возможны еще три типа взаимодействий с образованием волн разностной частоты. При этом обе взаимодействующие и рассеянная волны принадлежат к одной дисперсионной ветви Последнее весьма схоже со случаем преломления акустической волны на границе двух сильно анизотропных кристаллов, где возможно образование двух преломленных волн, также принадлежащих одной дисперсионной ветви (§ 5 гл. 9).

Большой интерес для приложений представляют взаимодействия акустических волн с квазистатическими электрическими полями

в кристаллах. Механизмы такого взаимодействия могут быть различными. В частности, в пьезоэлектрических кристаллах главную роль играет нелинейный пьезоэффект (см. уравнения (2.3)). Не вдаваясь в детали расчета, поясним основные черты взаимодействия звука и электрического поля с помощью дисперсионных диаграмм (рис. 11.3). На рис. 11.3, а изображен процесс встречного взаимодействия двух однотипных акустических волн с одинаковыми частотами (вырожденное взаимодействие). При этом результирующий электрический сигнал частоты постоянен в пространстве и, следовательно, не удовлетворяет дисперсионному уравнению (несинхронный процесс). По этой причине он может существовать только во время взаимодействия двух встречных волн. Диаграмма на рис. 11.3, а иллюстрирует и другой процесс, а именно взаимодействие поля удвоенной частоты с одной из акустических волн (с волновым числом k или этом происходит генерация «обратной» волны (знак волнового числа меняется на противоположный) или, как часто говорят, имеет место обращение волнового фронта.

Рис. 11.3. Типы взаимодействий акустических волн в кристалле с электрическим полем.

Эффект обращения волны в пьезокристалле полезно пояснить и непосредственно, без использования дисперсионных диаграмм. В самом деле, как следует из уравнений состояния (2.3), выражение для упругих напряжений в этом случае содержит нелинейный член где постоянные нелинейного пьезоэффекта. Если и то из элементарной тригонометрии следует, что в имеется слагаемое, пропорциональное ). Очевидно, оно и вызывает генерацию обратной волны. Впервые указанный эффект был предсказан в [381. Как выяснилось впоследствии, именно генерацией обратной волны обусловлено явление «двухимпульсного» электроакустического эха (более принято понятие «фононного эха»), наблюдаемого в монокристаллах и кристаллических порошках [39—461. Например, при подаче на кристалл импульса продольной акустической волны с частотой 550 МГц и после приложения к нему через время импульса электрического поля на частоте 1100 МГц появляется серия эхо-сигналов, если время удовлетворяет условию , где L — длина кристалла, с — скорость звука [431. Первые эхо-сигналы появляются вскоре после действия поля, однако сигнал максимальной амплитуды (истинное эхо) наблюдается в момент времени . Амплитуды сигналов эха пропорциональны произведению амплитуд задающих импульсов в соответствии с параметрической природой процесса. Явление фононного эха наблюдалось во многих работах для различных типов волн и в разных кристаллах и порошках. В частности, эхо на

поверхностных волнах в наблюдалось в работе [44]. Причина образования фононного эха в монокристаллах заключается в согласовании фаз акустических волн в пакете после обращения их во времени электрическим полем накачки. Если речь идет об эхо в порошках, то здесь его причиной является, по-видимому, согласование фаз колебаний отдельных частиц порошка после приложения импульса накачки [45].

На рис. 11.3, б изображен другой возможный процесс, происходящий при встречном взаимодействии акустических волн: . В этом случае результирующий электрический сигнал постоянен во времени, но изменяется в пространстве с периодом . Очевидно, описанный процесс может использоваться для запоминания акустических сигналов. Рассмотренные несинхронные взаимодействия представляют интерес для разработки нелинейных устройств обработки данных. Подробнее об этом будет говориться в гл. 12. Там же будут рассмотрены нелинейные акустические эффекты для объемных и поверхностных волн в пьезополупроводниковых кристаллах, в которых основным механизмом взаимодействия является токовая нелинейность электронной плазмы полупроводника. По порядку величины токовая нелинейность обычно намного превосходит упругую, пьезоэлектрическую и стрикционную нелинейности, поэтому интерес к исследованию нелинейных эффектов в пьезополупроводниках, в частности различных видов волновых взаимодействий [47, 48], в настоящее время достаточно велик.

В заключение обсудим некоторые особенности нелинейных акустических эффектов, сопровождающих структурные фазовые переходы в кристаллах [22]. Как известно, степень симметрии структуры принято характеризовать с помощью параметра порядка — величины, тождественно равной нулю в высокосимметричной фазе и отличной от нуля в низкосимметричной фазе (например, в ферромагнетике роль параметра порядка играет намагниченность). Л. Д. Ландау и И. М. Халатников предположили, что вблизи точки фазового перехода в изотропном случае термодинамический потенциал Ф, например внутренняя энергия, может быть представлен в виде разложения (см., например, [49])

где для простоты записи опущены тензорные индексы. Коэффициент в (4.7) линейно зависит от температуры , а коэффициент от температуры не зависит. При этом параметр порядка удовлетворяет следующему кинетическому уравнению:

описывающему релаксацию к равновесному значению. Здесь — феноменологический кинетический коэффициент. Для описания распространения звука уравнения (4.7) и (4.8) нужно дополнить механическим уравнением движения и учесть связь и Ф. Совместное решение этих уравнений в линейном

приближении позволяет получить выражение для волнового числа звука, в которое входит время релаксации параметра порядка ниже температуры фазового перехода

Из (4.9) следует, что быстро растет при Рост i в свою очередь приводит к резкому увеличению затухания звука а (в низкочастотном пределе ) и к дисперсии фазовой скорости.

Отметим, что коэффициент поглощения имеет максимум при температуре, близкой, но несколько меньшей При параметр порядка в рамках используемой модели равен нулю и аномалии в затухании отсутствуют. Похожим образом ведет себя и приращение фазовой скорости (в низкочастотном пределе ). Многочисленные эксперименты по измерению линейного поглощения и дисперсии звука в окрестности фазовых переходов в кристаллах в основных чертах подтверждают результаты изложенной простейшей теории, однако при обычно наблюдается значительное избыточное затухание, не предсказываемое теорией. Для объяснения этих отклонений было предложено несколько уточненных вариантов релаксационной модели Ландау и Халатникова, основные сведения о которых можно почерпнуть в обзоре [49].

Особый интерес представляет распространение звука в тех направлениях кристалла, в которых при фазовом переходе на изменениях волновых характеристик существенно сказывается изменение или обращение в нуль некоторых как линейных, так и нелинейных упругих модулей, связанное с изменением структуры кристалла. Характер этих изменений зависит от того, является ли связь деформаций с параметром порядка в высокосимметричной фазе линейной или квадратичной. В первом случае соответствующие модули второго и третьего порядков стремятся к нулю в точке фазового перехода, причем по довольно сложному закону. В случае квадратичной зависимости при переходе в высокосимметричную фазу модули упругости второго порядка должны испытывать скачок, а модули третьего порядка — оставаться неизменными. Эксперименты по наблюдению вторых гармоник, однако, показывают, что эффективность их генерации резко возрастает вблизи точки фазового перехода [50]. Этот факт не может быть объяснен на основе простой релаксационной теории. Улучшить положение можно, если включить в рассмотрение пространственные флуктуации параметра порядка в окрестности точки фазового перехода (см. [22]), которые можно описать посредством введения в разложение термодинамического потенциала (4.7) добавочного члена . Учет пространственных флуктуаций дает возрастание модулей упругости третьего порядка по закону , где - критический индекс, значение которого определяется симметрией кристалла. Однако и флуктуационные поправки не приводят к полному согласию с экспериментами, которые показывают, что наблюдаемые критические индексы обычно больше теоретически предсказываемых. Таким образом, необходимы дальнейшие уточнения теоретических

представлений о природе структурных фазовых переходов. Изучение нелинейных акустических эффектов при фазовых переходах, безусловно, может способствовать прогрессу в этой области.