Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 3. Взаимодействие упругих волн конечной амплитуды в изотропном твердом телеПерейдем теперь к динамическим нелинейным эффектам, начав с более простого случая изотропных твердых тел. Будем считать, что статическое воздействие отсутствует, вследствие чего можно оперировать с переменными естественного состояния. Проанализируем сначала случай, когда акустические волны конечной амплитуды распространяются в одном и том же направлении (коллинеарное взаимодействие). Для этого мы должны исходить из уравнения движения (2.5) и уравнения для внутренней энергии изотропного твердого тела, упругие свойства которого определяются пятью модулями упругости — уравнение (8.1.15). Тензор
Дифференцируя, получим
Из уравнений (2.5) и (3.1) найдем
где
Воспользуемся теперь методом последовательных приближений, представляя смещение в виде
и уравнения второго приближения:
где Уравнения (3.4) — обычные однородные уравнения движения, определяющие величины Пусть в твердом теле имеется плоская волна, распространяющаяся по оси
Индексы 1, 2, 3 соответствуют смещениям по осям Из уравнений (3.4) следует тогда, что уравнения первого приближения будут представлять собой три волновых уравнения, одно для продольной волны L со скоростью распространения Для второго приближения при заданном условии будем иметь уравнения [2]
где
Рассмотрим теперь различные случаи. 1. Пусть в первом приближении имеется только одна продольная волна. При этом система уравнений (3.7) — (3.9) перейдет в одно уравнение (так как
Решение этого уравнения для нулевого начального условия имеет вид (если при
где
Здесь
Таким образом, для твердых тел нелинейным параметром вместо V будет величина Г. Отметим, что значение Г для твердых тел (металлы, щелочно-галлоидные кристаллы) колеблется от 3 до 14 (порядок тот же, что и для жидкостей). Но скорость с, в твердых телах больше, чем в жидкостях, и поэтому при прочих равных условиях амплитуда гармоники в твердых телах по крайней мере на порядок меньше, чем в жидкостях. 2. Пусть теперь в первом приближении имеется только поперечная волна, поляризованная в направлении оси г:
т. е. что
Если смещения
то решение уравнений первого приближения будет
где
Как видно из этого выражения, амплитуда появившейся второй гармоники испытывает биения в пространстве с пространственным периодом
где 3. Рассмотрим теперь случай, когда в первом приближении одновременно имеются и продольная, и поперечная волны. Такая ситуация обычно и реализуется в экспериментах с пьезокварцевой пластинкой. Здесь возникают: гармоники продольной волны, продольная сложная волна, вызванная поперечной волной, и поперечная сложная волна (она имеет пространственную модуляцию с периодом порядка длины продольной волны). Подробнее с этим случаем можно познакомиться в [5]. При выводе формул, описывающих генерацию гармоник, нами не учитывалось поглощение звука. Если его учесть, то для амплитуды гармоники получим [21]
где Подобным же образом рассматривается задача о генерации звука комбинационных частот — суммарной и разностной
В отличие от газов и жидкостей, в твердых телах, поскольку в них могут распространяться два типа объемных волн — продольные и поперечные, кроме коллинеарного взаимодействия, которое мы до сих пор рассматривали, возможны взаимодействия при пересечении волн, или ограниченных звуковых пучков, под углом, значительно большим угла параметрического захвата (см. гл. 4, а также гл. 10). Запишем уравнения сохранения энергии и квазиимпульса фононов — условия синхронизма или резонансные условия, с которыми мы имели дело в гл. 4 и 10:
Второе из этих условий можно записать, согласно рис. 4.1, в виде
Угол рассеяния у, под которым направлен волновой вектор рассеянной волны
где Рассмотрим в качестве примера случай, когда имеется взаимодействие типа
где Отметим, что проведенные рассуждения дают возможность лишь установить, возможен ли данный тип взаимодействия, а также определить угол рассеяния, и не решают вопроса об амплитуде рассеянной волны. Для нахождения интенсивности рассеяния необходимо решать задачу о вероятности взаимодействия фононов. Эта задача без учета поглощения решалась в В гл. 10 мы коротко останавливались на тех условиях синхронизма, выполнение которых возможно для L- и Т-волн. Сделаем здесь еще несколько замечаний по этому поводу. Отметим, что, например, взаимодействие
Заметим, что мы пока имели дело только с одними акустическимй волнами и рассматривали только фонон-фононные взаимодействия. Значительно более разнообразны взаимодействия звуковых волн с волнами другой физической природы. Имеются взаимодействия фонон-электронные, фонон-фотонные, фонон-магнонные, но о них мы будем говорить в гл. 12—14.
|
1 |
Оглавление
|