§ 2. Динамика одиночного газового пузырька в акустическом поле

Все наблюдаемые при ультразвуковой кавитации явления связаны с существованием и характерным поведением кавитационных полостей или пузырьков в поле ультразвука. Поэтому изучение

движения пузырьков — одна из основных задач исследования ультразвуковой кавитации.

Многочисленные экспериментальные и теоретические исследования кавитации в обычной, недегазированной воде привели к выводу о том, что при амплитудах звука, меньших примерно Па, основную роль играют газовые пузырьки, т.. е. пузырьки, движение которых определяется внешним акустическим давлением и состоянием газа внутри пузырька. Более подробное рассмотрение кавитации мы начнем с вывода уравнений, описывающих динамику одиночных пузырьков и получения их простейших решений.

Рассмотрим поведение одиночного сферического пузырька радиуса R (t), совершающего пульсации в идеальной несжимаемой жидкости. Введем полярные координаты, начало которых совместим с центром пузырька. В этом случае потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа Сферически симметричное решение этого уравнения имеет вид

где константа А находится из граничного условия равенства давлений и нормальных скоростей частиц жидкости и газа на поверхности . Так как где штрихи означают, что соответствующие величины относятся к внутренней части пузырька, то

и искомый потенциал равен Подставляя это значение потенциала в интеграл Бернулли:

    (2.3)

получим для уравнение

где -давление при

Впервые это уравнение, как и его решение для простейшего случая постоянного давления на бесконечности, когда — гидростатическое давление) были получены Рэлеем [1]. Полагая, что , т. е. что внутри пузырька вакуум, из уравнения (2.4) нетрудно найти выражение для скорости захлопывания пустой полости:

где — радиус пузырька в начале захлопывания.

Вводя замену переменных преобразуем это уравнение к виду

откуда можно получить выражение для времени захлопывания

пустой полости:

где Г — гамма-функция.

Рассмотрение модели захлопывающейся пустой полости показывает, что сферическая сходимость пузырька может приводить к очень большим скоростям движения (в приближении несжимаемой жидкости ). Давления , развиваемые во время захлопывания, и при стремятся к бесконечности.

Такие большие давления, которые, согласно упрощенной теории (не учитывается сжимаемость газа в пузырьке, не учитываются потери), должны возникать при захлопывании полости, привели к казавшемуся вначале очевидным объяснению возникающей эрозии корабельных винтов. Однако такое объяснение имеет определенные трудности (см. § 4).

Перейдем теперь к поведению пузырька, находящегсся в жидкости в звуковом поле. Чтобы получить уравнение пульсаций пузырька для этого случая, сделаем ряд предположений. Согласно условию равенства давлений при имеем

Здесь величина — коэффициент поверхностного натяжения) представляет собой капиллярное давление Лапласа, которое оказывает искривленная поверхность пузырька на имеющийся в нем газ. Что касается условия на бесконечности, то будем считать, что вдали от пузырька гидростатическое давление равно , а на пузырек падает плоская звуковая волна Если длина звуковой волны А, в жидкости, которую мы считаем несжимаемой, много больше радиуса пузырька R, то поле в его окрестности можно приблизительно считать однородным:

Подставив значения давлений (2.7), (2.8) в уравнение Рэлея (2.4), получим уравнение Нолтинга — Непайреса 121:

Это уравнение нелинейное и аналитического решения не имеет. Если давление газа в пузырьке подчиняется уравнению Пуассона его решения могут быть получены либо приближенными, либо численными методами. При малых амплитудах уравнение (2.9) можно линеаризовать; при больших амплитудах можно получить решения численно. На рис. 6.1 для примера представлены численные решения, описывающие адиабатические пульсации газового пузырька в воде при гидростатическом давлении и при превышающей частоту собственных пульсаций пузырька частоте возбуждающего поля [3]. Параметром представленного

семейства кривых является амплитуда давления ). Внизу показано изменение во времени давления ультразвуковой волны. Штриховкой показаны области, характеризующие структурную неустойчивость уравнения. В этих областях качественная структура решений существенно меняется при незначительном изменении величины При пузырек не захлопывается в течение периода, а пульсирует многократно; эта амплитуда близка к пороговой. При большей амплитуде звука скорости захлопывания увеличиваются и приближаются к скорости звука, поэтому модель несжимаемой жидкости не пригодна для описания конечной стадии захлопывания.

Рис. 6.1. Численные решения для адиабатических пульсаций газового пузырька, начальный размер которого см; частота возбуждающего поля 500 кГц.

Решение более точных уравнений дает возможность оценить давления и температуры внутри пузырька на конечной стадии захлопывания. При этом необходимо учитывать не только сжимаемость жидкости, но и ее теплопроводность, вязкость, а также ионизацию газа внутри пузырька. Так, например, если для пузырька , то на конечной стадии захлопывания давление газа внутри пузырька достигает Па, а температура . Такой пузырек излучает в воду импульс давления, который при распространении за счет нелинейных свойств жидкости превращается в ударную волну амплитуды Возникновением этих ударных волн частично можно объяснить кавитационную эрозию.

Пульсации кавитационных пузырьков экспериментально обычно исследуются с помощью скоростной киносъемки. Так, для частоты ультразвука применялась частота съемки 60 000 кадров в секунду [3]. Приведенные результаты показывают, что уравнение Нолтинга — Непайреса хорошо описывает пульсации газового

пузырька при умеренных амплитудах звука. Однако приведенные графики, рассчитанные для амплитуд давлений до , имеют лишь иллюстративный характер, поскольку при таких значениях звукового переменного давления поведение газовых пузырьков в воде уже не может описываться уравнением (2.9). Как уже было сказано, это уравнение выведено без учета потерь при колебаниях пузырька; не учитывались сжимаемость, вязкость и теплопроводность. Кроме того, не учитывалось, что скорость стенки пузырька на конечной стадии захлопывания может быть сравнима со скоростью звука в воде и даже превышать ее. Учет сжимаемости в линейном приближении приводит к более сложному уравнению — так называемому уравнению Хэрринга — Флинна [4], а учет конечности амплитуд скорости стенки пузырька — к уравнению Кирквуда — Бете (см. [3, 5]). Здесь мы не будем на этом останавливаться.

Рассмотрим аналитически линейные решения уравнения (2.9) и обсудим их физический смысл.

Введем собственную сжимаемость пузырька согласно равенству

Из этого определения сжимаемости следует, что в линейном приближении (по полю ) амплитуда колебаний пузырька

где в общем случае величина комплексная и ее мнимая часть определяется различного рода потерями (см. ниже). Подставляя это значение амплитуды в линеаризованное уравнение (2.9), получим величину давления газа в пузырьке на поверхности :

Здесь множитель q учитывает резонансные свойства пузырька в жидкости:

Введем теперь понятия резонансной частоты пузырька из условия

и затухания 8

после чего выражение для амплитуды колебаний можно переписать в следующем виде:

В этих же обозначениях величина рассеянного поля в окрестности пузырька запишется как , где амплитуда

рассеяния

Заметим, что учет сжимаемости жидкости заставляет вместо решения (2.1) писать Поэтому в сжимаемой жидкости рассеянное поле ) записывается как

При этом амплитуда рассеяния имеет формально тот же вид, что и прежде (2.17), за исключением того, что значение затухания (2.15) приобретает дополнительное малое слагаемое . Учет вязкости жидкости при радиальных колебаниях пузырька сводится только к изменению граничного условия (2.7), которое будет теперь выглядеть так:

С учетом кинематической вязкости и сжимаемости жидкости затухание б перепишется теперь в виде

а выражение (2.14) для резонансной частоты формально остается без изменений.

Из полученных формул (2.15) — (2.20) видно, что окончательное решение задачи о поведении пузырька в жидкости под действием звука сводится в конечном счете к нахождению собственной сжимаемости пузырька ЛГП. Для нахождения необходимо привлечь уравнение состояния вещества (газа) и ряд новых уравнений или сделать дополнительные предположения о физическом характере процесса сжатия. В дальнейшем будем считать, что вещество внутри пузырька подчиняется уравнению идеального газа и рассмотрим вначале ряд предельных случаев при

Если радиус пузырька велик по сравнению с длиной тепловой волны в газе где — коэффициент температуропроводности, то пузырек можно считать теплоизолированным. Его поведение в этом случае можно считать адиабатическим, при этом . В этом случае сжимаемость , где является действительной величиной. Затухание определяется в этом случае исключительно вязкими и акустическими потерями. Резонансная частота со совпадает в этом случае с формулой Миннаерта для резонансной частоты газовых пузырьков [71:

В другом предельном случае пузырьки можно считать изотермическими и сжимаемость найти из уравнения . В этом случае является действительной величиной и затухание

(2.20) определяется также только акустическим и вязкими потерями. Заметим, что если в первом случае акустические потери вносили наибольший вклад в выражение для , то во втором случае, т. е. при наибольший вклад в для газа вносят вязкие потери.

В промежуточном случае процессы теплопередачи оказываются существенными для динамики пузырька и для нахождения сжимаемости необходимо решать дополнительную систему уравнений, учитывающую перенос тепла через границу Точный расчет коэффициента в этом случае дает следующее его значение:

где — тепловое число, — безразмерный радиус пузырька, выраженный в толщинах теплового слоя,

Предельные случаи дают для выражения (2.22) значения К, совпадающие с ранее полученными выражениями.

Отметим, что введение резонансной частоты согласно формуле (2.14) возможно лишь в том случае, если отсутствует частотная дисперсия сжимаемости Лишь только в отсутствие зависимости от (или ее слабой зависимости) выражения (2.12) и (2.19) достигают своего максимума (резонанса) на частоте определяемой формулой (2.14). В общем же случае для нахождения резонанса, т. е. максимальных значений, достигаемых амплитудой рассеяния Д и амплитудой необходимо взять их производные по со и приравнять нулю. При этом оказывается, что в ряде случаев при колебаниях пузырька возможно существование второго резонанса при малых частота которого отлична от резонансной частоты (2.14) [8, 9]; дополнительный резонанс имеет очень пологий максимум.

Затухание колебаний пузырька происходит за счет теплопроводности газа (тепловые потери), вязкости жидкости и за счет акустического переизлучения (радиационные потери). Приведенные соотношения позволяют оценить вклад в затухание указанных трех факторов. Так, на частоте для воздушных пузырьков в воде с радиусами в пределах от 0,002 до 0,2 см, т. е. для пузырьков, радиус которых меньше резонансного радиуса, основное влияние оказывает теплопроводность, а для пузырьков, радиус которых больше резонансного, — сжимаемость жидкости, т. е. радиационные потери, вязкие же потери на этой частоте роли практически не играют.

Вообще в диапазоне частот от самых низких и до частот порядка для воздушных пузырьков в воде радиуса см основной вклад в затухание колебаний пузырька вносят тепловые

и радиационные потери. (Заметим, что добротность пузырьков порядка десяти, т. е. она невелика.)

Если затухание колебаний пузырька представить в виде суммы трех частей: затухания за счет теплопроводности вязкости 6 и переизлучения так что то формулу (2.20) и выражения (2.22) и (2.23) удобнее записать в таком виде [10]:

Из приведенных соотношений видно, что в качестве параметра интенсивности теплообмена выступает соотношение между радиусом пузырька и длиной тепловой волны в газе этот же параметр влияет и на показатель политропы в уравнении состояния газа. Потери на вязкость определяются квадратом отношения длины вязкой (сдвиговой) волны (см. формулу (3.10) гл. 1) к радиусу пузырька, а на излучение — отношением к длине звуковой волны и близостью частоты звука к резонансной частоте.

При умеренных амплитудах звука можно теоретически объяснить интересное и имеющее достаточно общий характер явление — рост радиуса пузырька в звуковом поле. В случае газового пузырька этот рост обусловлен так называемой выпрямленной, или односторонней диффузией газа в пузырек. Кратко это явление можно описать следующим образом. Как известно, скорость диффузии растворенного в воде газа пропорциональна градиенту концентрации (закон Фика, аналогичный закону Фурье для теплопроводности):

где — масса газа, протекающего в секунду через единицу поверхности, D — коэффициент диффузии и С — концентрация растворенного в воде газа. Закон Фика выполняется на границе пузырька; концентрация газа в жидкости на границе равна концентрации насыщения при давлении газа в пузырьке в данный момент времени и меняется в течение звукового периода. Вдали от пузырька концентрация будет постоянной зависящей от предыстории состояния воды. Если вода была подвержена специальной подготовке (длительному кипячению, вакуумированию и т. д.), то концентрация газа намного ниже насыщенной при давлении Если вода находилась в длительном контакте с воздухом или другим газом, то концентрация газа будет близка к насыщенной . Во втором случае в течение времени, равного части периода звука (полупериод сжатия), концентрация газа будет больше и газ из пузырька будет диффундировать в глубь жидкости и растворяться в ней; во время другой части периода, когда пузырек расширяется, и газ, наоборот, диффундирует из глубины жидкости к границе и выделяется в объем пузырька (рис. 6.2). При этом средний за период поток газа в пузырек может

быть отличен от нуля. Газообмен пузырька идет приблизительно с постоянным объемом жидкости. При этом диффузия газа из пузырька идет через маленькую поверхность и с малым градиентом концентрации, поскольку толщина слоя жидкости, участвующей в газообмене, больше (шелл-эффект), а диффузия газа в пузырек идет через большую поверхность и больший градиент. Таким образом, когда концентрация растворенного газа близка к средний поток газа, диффундирующего за период в пузырек, будет отличен от нуля, масса газа в пузырьке будет расти и его радиус будет увеличиваться [11].

Рис. 6.2. Увеличение радиуса газового пузырька в звуковом поле: а) Фаза сжатия ; б) фаза разрежения

Не приводя громоздких выкладок, напишем конечное выражение для скорости роста массы газа в пузырьке

где — добротность колебаний пузырька. Первое слагаемое обусловлено выпрямленной диффузией газа в пузырек, второе — статической диффузией, возникающей при отличии концентрации растворенного в воде газа от насыщенной.

Поскольку изменение площади поверхности пузырька максимально на резонансе, то и выпрямленная диффузия максимальна при совпадении частоты с резонансной.

Если то, приравняв правую часть формулы (2.26) нулю, получим выражение для порогового давления роста пузырька вследствие выпрямленной диффузии:

Как видим, зависит от степени приближения к резонансу и от добротности пузырьков. На резонансе оно минимально:

Многочисленные эксперименты [13—151 надежно подтвердили теоретические выводы и выявили ряд дополнительных эффектов, в частности ускорение роста пузырьков при возбуждении на его поверхности капиллярных волн.