Часть II. ВОЛНЫ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ

Глава 8. ЛИНЕЙНАЯ АКУСТИКА ИЗОТРОПНЫХ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

§ 1. Основные сведения из теории упругости

Во второй части книги мы рассмотрим акустические волны в твердых телах, характеризующихся различными физическими свойствами — упругой анизотропией, пьезоэффектом, наличием носителей электрического заряда, магнитоупругостью, внутренней структурой и т. д. Однако, прежде чем переходить к изучению такого рода сложных систем, естественно ознакомиться с наиболее простым случаем — классическим идеально упругим изотропным твердым телом (диэлектриком). Под идеально упругим будем подразумевать твердое тело, в котором отсутствуют пластические деформации. Иными словами, при снятии силовой нагрузки тело приходит в первоначальное состояние (отсутствие механического гистерезиса). Феноменологически такое тело может быть описано в рамках теории упругости — хорошо разработанного раздела механики сплошных сред (см., например, [1]). Ниже приведены основные сведения из теории упругости, необходимые для понимания дальнейшего изложения. Несмотря на то, что в настоящей главе мы ограничимся рассмотрением волн бесконечно малой амплитуды в рамках линейной акустики, в целях методического единства здесь приведены и некоторые сведения из нелинейной теории упругости изотропных твердых тел.

Рассмотрим безграничное твердое тело, положение каждой точки которого до деформирования характеризуется ее радиус-вектором . Пусть в результате деформирования тела некоторая точка М, описываемая радиус-вектором переместится в положение М, которому соответствует радиус-вектор . Смещение точки М относительно первоначального положения определяется выражением . В то же время бесконечно близкая к точке М точка с координатами в результате деформирования займет положение N, описываемое радиус-вектором Изменение расстояния между точками М и N, очевидно, может служить характеристикой процесса деформирования. Так, если до осуществления

деформирования

то после деформирования

Так как вектор смещения является функцией координат , то и изменение расстояния определяется следующим выражением:

где

Тензор называется тензором деформации. Очевидно, тензор симметричен, т. е. . Обратим внимание на то, что нелинейно зависит от производных вектора смещения. Поскольку такого рода нелинейность не связана с физическими свойствами тела, ее принято называть геометрической нелинейностью. В большинстве случаев деформации малы по сравнению с единицей, поэтому нелинейная добавка в выражении (1.1) представляет собой величину второго порядка малости. В линейных задачах этой добавкой пренебрегают и оперируют с линеаризованным тензором деформации . В таком приближении из (1.1) следует, что диагональные компоненты тензора — величины — представляют собой относительные удлинения вдоль соответствующих осей, а недиагональные компоненты (при — половины углов сдвига выделенного элемента объема тела в плоскостях . След тензора — сумма диагональных компонент — представляет собой относительное изменение объема тела . В соответствии со сказанным величины при называют деформациями растяжения (сжатия), а при — деформациями сдвига.

Перейдем теперь к рассмотрению сил, возникающих в твердом теле при его деформировании и стремящихся вернуть тело в первоначальное положение. Эти силы называются внутренними напряжениями или силами упругости. Они обусловлены взаимодействием между соседними частицами тела и имеют молекулярную природу. В макроскопическом смысле эти силы являются близкодействующими; они передаются непосредственно путем контакта между соседними точками тела.

Для описания сил внутренних напряжений введем понятие тензора напряжений. С этой целью рассмотрим в упругом теле некоторый

объем V, ограниченный поверхностью П, и предположим, что этот объем испытывает силовое воздействие со стороны частиц тела, находящихся вне его. Поскольку эти силы являются близкодействующими и передаются только через поверхность П, величина силы, действующей на элемент поверхности пропорциональна полная сила, действующая на выделенный объем V, будет выражаться через интеграл по П. С другой стороны, полная сила, действующая на объем V, может быть представлена в виде объемного интеграла Согласно векторному анализу оба представления эквивалентны, если вектор F является дивергенцией некоторого тензора второго ранга, т. е.

    (1.2)

При этом сила, действующая на объем V, может быть записана в виде

где — вектор единичной внешней нормали к поверхности . Тензор называется тензором напряжений. Очевидно, величина представляет собой компоненту силы, действующей на элемент поверхности со стороны частиц, лежащих вне объема V (соответственно сила внутренних напряжений, действующая на элемент со стороны объема V по третьему закону Ньютона будет равна . Так, в прямоугольных координатах компонента есть компонента силы, действующей на единичную площадку, перпендикулярную к оси Можно показать [1], что тензор симметричен, т. е. Заметим, что при равномерном всестороннем сжатии тела, находящегося под давлением , тензор напряжений имеет вид Знак обусловлен выбором внешней нормали к поверхности П.

Выпишем основные уравнения теории упругости. Статическое уравнение равновесия

следует из условия равенства нулю сил внутренних напряжений, действующих на каждый элемент объема При учете сил тяжести (или любых других объемных сил) уравнение равновесия будет иметь вид

здесь — плотность, компонента ускорения свободного падения. Приравнивая силу силе инерции, т. е. произведению массы единицы объема тела (его плотности) на ускорение получим динамическое уравнение равновесия, или общее (с учетом силы тяжести) уравнение движения упругой среды:

Внешние силы, приложенные непосредственно к поверхности тела (эти силы обычно и вызывают деформирование), учитываются

в граничных условиях для уравнений (1.4)-(1.6). Пусть внешняя сила, действующая на единицу площади поверхности тела, равна Тогда на площадку действует сила . В равновесии эта сила должна компенсироваться силой внутренних напряжений, действующих со стороны объема тела Таким образом, граничное условие, которое должно выполняться на всей поверхности тела, подверженного воздействию внешних близкодействующих сил, имеет вид

Перейдем теперь к определению уравнений состояния изотропного упругого тела или к установлению связи между напряжениями и деформациями Такая связь может быть записана феноменологически с помощью термодинамических потенциалов. В координатах недеформированного тела

где внутренняя энергия тела, S — энтропия, Y — свободная энергия, отнесенные (в отличие от гидродинамики) к единице объема, Т — температура. Выражения (1.8) получаются из известных термодинамических соотношений

Поскольку распространение акустических волн сопровождается обычно адиабатическими деформациями, будем оперировать с внутренней энергией

Представим внутреннюю энергию изотропного твердого тела в виде ряда по степеням инвариантов тензора деформации. Нетрудно убедиться, что если в разложении ограничиться членами не выше второго порядка по то независимых инвариантов будет всего два, например . Поскольку при должно быть , то члены с первыми степенями по будут отсутствовать (см. (1.8)). В результате выражение для примет вид

Здесь — постоянные Ламе, являющиеся характеристиками данного тела. В дальнейшем нас будет интересовать только та часть внутренней энергии, которая зависит от деформации — потенциальная энергия. Поэтому, не ограничивая общности, будем считать Дифференцируя по получим, согласно (1.8),

Если произвольную деформацию представить в виде суммы деформаций чистого сдвига (сумма диагональных компонент равна нулю) и всестороннего сжатия:

то связь между напряжениями и деформациями можно записать также в виде

    (1.12)

Величина К, связанная с постоянными Ламе соотношением называется модулем всестороннего сжатия. Величину называют также модулем сдвига. Наличие ненулевого значения говорит о том, что твердое тело, в отличие от жидкостей, наряду с объемной упругостью обладает и упругостью формы. Из условия устойчивости упругого тела (условия минимума энергии S при и следует, что постоянные К и всегда положительны. Если разрешить (1.11) или (1.12) относительно то можно получить связь компоненты с компонентами . Например, из (1.12) следует

Выражения представляют собой варианты математической записи закона Гука. Таким образом, изотропные твердые тела характеризуются только двумя независимыми постоянными, которые называют модулями упругости. Это могут быть, например, постоянные Ламе и (i или величины К и и. Пользуются также другими парами модулей упругости, удобными для использования в тех или иных конкретных задачах. Это модуль Юнга Е и модуль сдвига р, а также широко используемая в теории упругости пара— модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона а. Последний дает связь между относительным продольным растяжением (сжатием) упругого стержня и его поперечным относительным сжатием (растяжением) при приложении к стержню однородной в поперечном направлении растягивающей (сжимающей) силы , приходящейся на единицу площади (однородные деформации): Связь между парами и Е, о такова:

Если подставить в (1.14) выражение через К и , то нетрудно получить аналогичные соотношения и между другими парами модулей упругости. Заметим, что вследствие положительности из второго равенства (1.14) следует, что . На самом деле коэффициент Пуассона изменяется в более узких пределах по сравнению со значениями, вытекающими из условия упругой устойчивости. А именно, всегда Это означает, что продольное растяжение тела сопровождается его поперечным сжатием, а не расширением. Из неравенства 00 вытекает и неравенство , поскольку . Таким образом, все названные упругие модули есть величины положительные.

До сих пор мы ограничивались рассмотрением линейной связи между компонентами учитывая только члены не выше второй степени в разложении внутренней энергии по компонентам тензора деформации По этой причине упругие модули , а также , а называют линейными модулями или модулями упругости второго порядка. Если в разложении по степеням оставить еще и кубичные члены, то для изотропного твердого тела можно получить [1, 2]

Как видно, в выражении (1.15) появляются еще три постоянных коэффициента — А, В и С. Так как они стоят при кубичных членах разложения , их называют модулями третьего порядка или нелинейными модулями упругости (иногда — коэффициентами Ландау). Из выражения (1.15) следует, что, строго говоря, связь между напряжениями и деформациями может считаться линейной только при бесконечно малых деформациях Поскольку в разложении (1.15) присутствуют пять упругих модулей, то соответствующую этому приближению нелинейную теорию упругости называют пятиконстантной теорией [3]. Наряду с введенными выше нелинейными модулями А, В, С в литературе используются также несколько отличающиеся от них коэффициенты Мэрнагана, названные так в честь американского физика, который одним из первых начал заниматься нелинейными проблемами теории упругости [4]. Соотношения между коэффициентами Мэрнагана и модулями А, В, С приведены в работах [2, 5], в которых можно найти также значения модулей упругости второго и третьего порядков для ряда твердых тел.

При переходе к нелинейной теории упругости необходимо, разумеется, использовать полное выражение для тензора деформации (1.1). Уравнения (1.4)-(1.6) в нелинейной теории упругости остаются в силе. За это, однако, приходится расплачиваться тем, что напряжения в общем случае должны определяться по отношению к деформированной, а не к исходной поверхности, как мы делали выше. В нелинейной теории называют механическими напряжениями, чтобы отличить их от так называемых термодинамических напряжений определяемых в координатах недеформированного тела. Строго говоря, в выражения (1.8) и (1.9) входят именно термодинамические напряжения. Поэтому, для того чтобы замкнуть уравнения движения уравнениями состояния, необходимо использовать связь между . В линейном случае, однако, вследствие чего в настоящей главе мы не будем делать различий между этими величинами. Более подробно о нелинейной теории упругости говорится в гл. 11, посвященной нелинейной акустике твердых тел.