Глава 5. РАДИАЦИОННОЕ ДАВЛЕНИЕ. АКУСТИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ

§ 1. Радиационное давление. Общие сведения

Кроме переменных величин, таких, как давление, колебательная скорость и смещение, в звуковом поле возникают постоянные силы. К таким силам относится радиационное давление, которое также называют давлением звукового излучения [1—3].

Давление излучения характерно для волн любой природы, в том числе для электромагнитных волн (вспомним давление света). Его происхождение связано с изменением в некотором объеме (например, у препятствия или вследствие поглощения волн на пути их распространения) среднего по времени переносимого волной импульса. Отличие звукового радиационного давления от давления света состоит в том, что волновое уравнение для световых волн линейно (если не рассматривать задач нелинейной оптики, имеющей дело с мощным лазерным излучением), тогда как в акустике, даже при относительно небольших интенсивностях звука, возникают нелинейные эффекты (см. гл. 3, 4), которые в ряде случаев приходится принимать во внимание.

Кроме того, в акустических задачах поверхность препятствия, на которую падают звуковые волны, может испытывать колебания под действием волн, и при определении радиационного давления часто требуется учитывать эти движения. Возникает необходимость принимать во внимание целый ряд обстоятельств: каково акустическое поле и вид звуковой волны; какова геометрия задачи — в свободном ли пространстве имеется акустическое поле или это пространство ограничено; каково препятствие, на которое падают волны — поглощает оно звук или отражает и в какой степени; нужно ли учитывать нелинейные свойства среды или можно ограничиться линейной акустикой; велико или мало препятствие по сравнению с длиной звуковой волны и в какой степени следует учитывать рассеяние волн на этом препятствии; существенную ли роль играют диссипативные свойства среды и т. д.

В эйлеровых координатах при изменении импульса волны сила, действующая на некоторый фиксированный объем V, определяется потоком импульса через неподвижную поверхность ограничивающую этот объем (см. (1.1.24)):

Здесь определяется по — звуковое давление, внешняя нормаль к поверхности S. Обратим внимание на то, что выражение для тензора взято здесь без учета тензора вязких напряжений и, таким образом, все дальнейшее изложение, пока не будет оговорено особо, относится к идеальной жидкости.

Для нахождения постоянной составляющей силы возникающей в звуковом поле, т. е. (по определению) силы радиационного давления следует взять среднее по времени от

    (1.1)

Это выражение имеет общий вид и в нем должно быть учтено изменение импульса, которое вызывается поглощением волны. Вообще говоря, следует учитывать и изменение импульса волны, вызванное различными другими причинами, в том числе дифракцией и рассеянием на препятствии, а также нелинейными эффектами (если, например, падающая волна имеет искаженную форму профиля вследствие нелинейного отражения и взаимодействия падающей и отраженной волн [4]).

Сила радиационного давления, или просто радиационное давление, есть величина векторная, зависящая от направления нормали к площадке по отношению к направлению распространения звука. Она представляет собой интеграл от свертки тензора плотности потока импульса с единичным вектором нормали к поверхности. Эту силу иногда называют радиационным напряжением или натяжением (так как ее величина зависит от ориентации площадки относительно направления распространения волны), хотя название это (вообще говоря, более правильное) и не привилось.

Для плоских гармонических волн, распространяющихся по оси х («неограниченный» пучок волн), получаем из (1.1.22)

Из (1.1) и (1.2) следует, что радиационное давление, если даже не учитывать нелинейности уравнений движения и состояния, т. е. в линейной акустике, представляет собой величину квадратичную по переменным поля. Поэтому необходимо принимать во внимание величины второго порядка малости, не обращающиеся в нуль при усреднении по времени.

Если ограничиться первым приближением для и v (считая, что штрих означает первое приближение и два штриха — второе), то, поскольку для гармонической волны из (1.1) и (1.2) следует, что радиационное давление на полностью поглощающее препятствие действует вдоль направления распространения

волны и равно (на единицу площади)

где — средняя по времени плотность кинетической энергии. Выражение для среднего значения плотности потока импульса во втором приближении запишется в виде

Во втором приближении, как это следует из (1.4), тензор может быть представлен как сумма двух тензоров, один из которых

есть дополнительное гидростатическое давление, обязанное своим происхождением нелинейности гидродинамических уравнений.

Если в звуковом поле плоской волны масса постоянна и то, согласно (3.1.32), вспоминая, что получим

Это значение показывает, что среднее гидростатическое давление в плоской волне из-за нелинейности уравнений будет больше на величину (эффект «поджатия»).

Если, однако, учитывать ограниченность звукового пучка, то поджатие будет иметь место до тех пор, пока статическое давление в пучке не станет равным гидростатическому давлению в среде, где пучка нет. Поэтому радиационное давление пучка на полностью поглощающее препятствие оказывается равным

Такое давление в свободном пространстве с учетом ограниченности пучка называют ланжеееновским или ланжевен-бриллюэновским давлением радиации. Другими словами, это — давление, создаваемое пучком, когда последний окружен невозмущенной жидкостью. В выражении (1.7) мы считаем, что среднее значение кинетической энергии равно среднему значению потенциальной энергии; в общем случае этого может и не, быть; подробно этот вопрос рассмотрен в [2]. Естественно, что если препятствие полностью отражает звук, то

Таким образом, давление в ограниченном пучке бегущих волн не равно давлению плоской волны, где давление на поглощающую стенку, согласно (1.3) — (1.6), есть

Нелинейный параметр для жидкостей принимает значения 4—12, поэтому отличие от давления в ограниченном пучке (в котором статическое давление выровнялось, став равным давлению в невозмущенной звуком среде), как мы видим может быть велико. Тем не менее экспериментального доказательства эффекта поджатия, насколько нам известно, пока не получено, хотя теоретически этот вопрос достаточно ясен. Радиационное давление в неограниченном пучке (1.7) можно назвать рэлеевским давлением 131, хотя более принято, следуя Рэлею, называть рэлеевским радиационное давление на полностью отражающую стенку в жесткой трубе (см. ниже).

Проведем теперь рассмотрение радиационного давления в лагранжевых координатах. Такой подход удобен для решения задачи о нахождении радиационного давления на сферу (см. § 2). На тело, помещенное в озвучиваемую невязкую среду, действует сила

Уравнение поверхности ограничивающей тело, в общем случае зависит от времени, так как в звуковом поле тело может увлекаться окружающей жидкостью и совершать колебательные движения как поступательного, так и радиального типа (например, пузырек в жидкости). Радиационное давление есть постоянная составляющая силы (1.10), т. е. сила, усредненная во времени за период колебаний звукового поля.

При непосредственном усреднении выражения (1.10) встречаются некоторые сложности, связанные именно с усреднением движения граничной поверхности. Чтобы избежать их, введем среднее равновесное положение границы и перепишем итеграл (1.10) в следующем виде:

Интегрирование по движущейся поверхности в (1.10) заменено здесь интегрированием по неподвижной поверхности S, а оставшаяся разность интегралов по поверхностям превращена, согласно теореме Гаусса, в объемный интеграл. При малой амплитуде колебаний точек граничной поверхности объем V, заключенный между поверхностями и S, может быть приближенно записан как здесь при переходе считается, что от времени независит. При этом где — колебательная скорость поверхности тела. Воспользовавшись далее уравнением движения Эйлера и совершив несложные преобразования,

получим, что с точностью до квадратичных членов сила

Усреднение выражения (1.12) по времени не представляет теперь труда. Принимая во внимание, что среднее значение производной по времени от любой величины, принимающей конечные значения, равно нулю, получим после усреднения (1.12)

Заметим, что при отсутствии массообмена на поверхности тела нормальная скорость точек границы равняется нормальной скорости движения прилегающих частичек жидкости и . В этом случае выражение (1.13) совпадает с традиционными формулами для радиационного давления, полученными с помощью усредненного тензора плотности потока импульса согласно (1.1). Отметим, что из вывода формулы (1.13) следует, что она верна лишь при малых амплитудах колебаний поверхности и справедлива с точностью до квадратичных членов.

Произведя все дальнейшие выкладки именно с точностью до квадратичных членов, найдем теперь среднее значение давления. Для этого выпишем уравнение Эйлера с точностью до величин второго порядка малости по полю и усредним его по времени. При этом, согласно замечанию о среднем значении производной по времени, член выпадает и полученное равенство допускает интегрирование. В результате получаем, что

где — статическое давление в жидкости, а и — решения линейной задачи. Постоянная интегрирования находится, как обычно, из граничных условий. Ее наличие описывает поджатие среды, т. е. возникновение дополнительного статического давления за счет динамических факторов, о чем уже шла речь выше. Подставим выражение (1.14) в формулу (1.13) и, положив получим окончательное выражение для силы радиационного давления, одинаково справедливое как для бегущих, так и для стоячих волн:

При записи выражения (1.15) учтено, что интегрирование статического давления по всей замкнутой поверхности ввиду его постоянства дало нуль. Заметим, однако, что аналогичное интегрирование динамического поджатия по всей поверхности в общем случае дает результат, отличный от нуля. Это возможно лишь в случае разрывных решений, когда на разных участках поверхности константа принимает различные значения.

Рассмотрим в качестве примера несколько простых случаев. Пусть в трубе на расстоянии L от начала координат находится массивный неподвижный диск, радиус которого равен радиусу трубы R. Взяв граничные условия в виде и положив запишем решение линейной задачи в виде нормальных волн: при

при

где Радиационная сила, действующая на диск, в этом случае равна, согласно формуле (1.15),

где — площадь диска. Решение (1.16) линейной задачи оказывается здесь разрывным при и значения и берутся в формуле (1.17) с внутренней стороны диска, поскольку на его внешней стороне эти величины равны нулю. Постоянную интегрирования найдем из уравнения состояния вещества (адиабата Пуассона (1.1.11)), которое с точностью до членов второго порядка малости по полю можно записать в виде

Усредним это выражение по времени и проинтегрируем по х от 0 до L. При этом учтем, что ввиду постоянства массы вещества внутри трубы интеграл от плотности сохраняется и

Подставив в полученное равенство среднее давление в форме (1.14), найдем искомое значение динамического поджатия; константа дается выражением

Используя это значение константы, перепишем (1.17) в окончательном виде

Эта формула для радиационной силы, действующей на неподвижный диск в трубе с постоянной массой газа, была получена впервые Рэлеем [51. Как видно из вывода (1.20), решение линейной задачи оказалось здесь разрывным. Особенно существенным является то обстоятельство, что на противоположных сторонах диска поджатие принимало различные значения. Полный интеграл от по

замкнутой поверхности (по обоим сторонам диска) в этом случае оказался отличным от нуля. Подобные решения в аналогичных задачах, когда динамическое поджатие среды оказывается отличным от нуля и разным на противоположных сторонах тела, приводят к давлению звука, которое, как уже упоминалось, называется рэлеевским.

Однако в большинстве случаев линейное решение задачи оказывается непрерывным. Но даже в случае его разрыва дополнительное поджатие среды зачастую постоянно вдоль всей поверхности тела. В этом случае динамическое поджатие эквивалентно действию статического давления и не оказывает на тело никакого влияния. Интеграл от по замкнутой поверхности обращается в нуль и выражение (1.15) принимает вид

Давление звука, испытываемое телом в этом случае, как мы знаем, называется ланжевеновским.

Рассмотрим случай падения плоской волны на диск, поперечные размеры которого значительно больше длины звуковой волны. Если диск расположен в открытом пространстве, то из условия на бесконечности следует, что динамическое поджатие отсутствует, т. е. и радиационное давление определяется формулой (1.21). Если звуковая волна полностью поглощается, то за телом в области тени , а перед ним . В этом случае

где — плотность энергии. Если тело неподвижно, а волна полностью отражается, то и

В этом случае скорость имеет только одну компоненту и выражение для силы (1.21) можно представить в более простом виде:

где — плотности энергий на противоположных сторонах диска. Если диск имеет толщину а, его плотность , а скорость звука в нем , то

где . При диск ведет себя как абсолютно отражающее тело, и . В случае, если диск поглощающий, то , т. е. мы получаем те же формулы, с которыми имели дело ранее.

Таким образом, радиационное давление есть величина квадратичная относительно переменного звукового давления и его значение

Р невелико даже для относительно интенсивных акустических волн, поскольку обычно мало само значение звукового давления. Так, например, для интенсивности звука в воде амплитуда звукового давления Па, тогда как радиационное давление на полностью поглощающую стенку составляет всего Па. Тем не менее измерение радационного давления производится без особого труда и представляет собой метод абсолютного определения интенсивности звука (плотности потока энергии), если воспользоваться тем, что для плоской волны интенсивность и средняя плотность энергии Е связаны соотношением Эти измерения производятся при помощи устройств, называемых радиометрами (например, легкий отражающий звук диск, подвешенный на коромысле с радиусом, заметно большим длины звуковой волны). Имеется большое разнообразие в конструкции радиометров как для газа, так и для жидкости, и здесь мы не будем на этом оста-. навливаться. В условиях эксперимента следует иметь в виду необходимость различного рода поправок; в особенности большое значение имеет учет влияния акустического течения в звуковом поле (§ 4), под действием которого радиометр может испытывать дополнительное отклонение.

Перейдем теперь к рассмотрению сил радиационного давления на препятствия. Рассмотрим сначала простой случай, когда плоское препятствие достаточно велико по сравнению с длиной звуковой волны и в свою очередь площадь сечения 5 пучка, падающего нормально на препятствие, достаточно велика и . В этом случае сила для полностью поглощающего или полностью отражающего препятствия в направлении распространения волны определяется соответственно по (1.22) или (1.23) с учетом того, что

При падении пучка под углом к нормали к полностью поглощающему препятствию, согласно (1.1),

где S — проекция площади звукового пучка на препятствие. Разлагая эту силу на нормальную и тангенциальную и пользуясь тем, что имеем , откуда действующая сила в направлении распространения волны на полностью поглощающее препятствие не зависит от угла падения. Для случая идеального отражателя в направлении х действует радиационная сила .

Интересно отметить, что при падении звукового пучка на границу раздела двух сред (например, несмешивающихся жидкостей с различными плотностями и скоростями звука ) и частичном отражении и преломлении (при но ) может возникнуть интересное явление, состоящее в том, что при нормальном падении из-за различия плотностей энергии и возникает радиационная сила, направление которой

зависит от знака . При эта сила направлена к источнику звука! В таком же направлении происходит деформация поверхности. Это явление наблюдалось в [6]. Заметим также, что вспучивание поверхности жидкости под воздействием падающего из жидкости на эту поверхность ультразвукового пучка, а также образование ультразвукового фонтана также объясняются действием сил радиационного давления.

В такой простой постановке можно рассчитать радиационные силы, действующие на частично отражающую и частично поглощающую плоскопараллельную пластину, и определить рэлеевское давление в стоячей волне между двумя неподвижными стенками [5, 71.

Задача о нахождении F значительно усложняется, если препятствие имеет конечные размеры, хотя и большие Я, и следует учитывать дифракцию. Таким образом, радиационная сила будет зависеть от формы препятствия. Имеется ряд решенных задач для препятствий симметричной конфигурации — для жесткой и сжимаемой сферы, на которую падает плоская волна (случай идеальной жидкости), на диск и полоску. Эти вопросы достаточно подробно изложены в [2]; там же приведены ссылки на оригинальные работы.