§ 4. Статистические явления при распространении нелинейных акустических волн

До сих пор мы имели дело с регулярными нелинейными волнами и их взаимодействиями; случайные процессы при этом не рассматривались. Вместе с тем статистические явления при распространении нелинейных волн часто встречаются и имеют большое значение в физической акустике.

К таким явлениям можно отнести нелинейную трансформацию спектра интенсивного шума при его распространении в нелинейной среде, когда из-за взаимодействий спектральных компонент этого шума происходит перекачка энергии как в низкочастотную, так и в высокочастотную части спектра (так называемая акустическая турбулентность). Другим примером может служить поглощение звука шумом, когда слабый монохроматический сигнал, распространяясь в широкополосном шуме, из-за взаимодействия с ним испытывает поглощение; энергия сигнала «отбирается» шумом. Отметим, что даже поглощение звука за счет вязкости и теплопроводности, о котором шла речь в гл. 2, можно считать именно результатом такого взаимодействия акустического сигнала с шумом, который в данном случае есть не что иное, как спектр тепловых фононов или упругих дебаевских волн. Об этом будет идти речь при рассмотрении поглощения упругих волн в твердых телах. Укажем еще на один эффект — уширение спектральных линий гармоник исходного узкополосного возмущения при распространении случайно-модулированной звуковой волны конечной амплитуды.

Теоретическое рассмотрение статистических задач в нелинейной акустике следует разделить на два класса. В первой группе задач акустическое поле (узкополосный шум, интенсивный шум с широким спектром, смесь сигнала и шума и т. д.) задается на входе в нелинейную среду и ставится вопрос, как по мере распространения статистические характеристики поля будут изменяться. Вторая группа — это когда в самой среде имеется случайное акустическое поле (например, шум, поле турбулентных пульсаций и т. д.) и в такой среде распространяются либо регулярные волны конечной амплитуды, либо случайные нелинейные волны. Распространение звуковых волн малой амплитуды в турбулентной среде будет нами рассмотрено в гл. 7.

Отметим существенное отличие в постановке задач о детерминированных сигналах на входе в нелинейнук) среду и сигналов случайных. В первом случае в решении задачи о поведении регулярных сигналов, таких, например, как несколько монохроматических нелинейных звуковых волн, необходимо учитывать фазовые соотношения между этими волнами, поскольку именно они определяют дальнейшую картину взаимодействия. Во втором случае такие фазовые соотношения не играют роли.

Кроме указанных статистических задач, связанных с распространением нелинейных волн, к статистической нелинейной акустике относятся, вообще говоря, также задачи о генерации интенсивного

звука и шума. Рассмотрение этого вопроса проведено, например, в [12].

Одна из первых задач по нелинейной статистической акустике, относящаяся к трансформации спектра нелинейных шумовых волн, была рассмотрена Л. К. Зарембо [331. Далее ряд основных результатов в изучении первого класса задач был получен О. В. Руденко и А. С. Чиркиным [34].

Рассмотрим сначала наиболее простую задачу о распространении плоской случайно-модулированной квазигармонической волны или узкополосного случайного процесса [34], который на входе в нелинейную среду можно записать для колебательной скорости v в виде

где - случайные медленно изменяющиеся амплитуда и фаза.

Уравнение простой волны, описывающее поведение нашего сигнала, в сопровождающей системе координат имеет вид

Как можно теперь подойти к решению задачи об изменении с расстоянием профиля волны, заданного при выражением Мы не будем проводить здесь подробное решение этой задачи, которое изложено в [1], и укажем лишь путь получения такого решения, а также кратко остановимся на обсуждении результата.

При условии которое означает, что искажением можно пренебречь за характерное время можно показать, что решение уравнения для простой волны (4.2) в сопровождающей системе координат будет иметь вид

где — безразмерные координаты. Решение этого уравнения дается рядом Бесселя — Фубини:

что позволяет записать корреляционную функцию сигнала для любого значения 0 и 2 в виде

где связаны выражением

Найти оказывается возможным для стационарного гауссовского (нормального) процесса, для которого известно выражение появляющейся при этрм в выражении для четырехмерной

функции распределения [35]. Если найдены , то, полагая далее , для интенсивности случайного сигнала можно найти (имея в виду, что для случайного сигнала а для детерминированного сигнала при одинаковых интенсивностях исходных волн) выражения для интенсивности гармоник которые мы здесь не приводим [1].

Полученные выражения позволяют сделать существенные выводы о том, каково будет различие в процессе возникновения и роста гармоник детерминированного сигнала и случайного узкополосного сигнала. Результат получается, вообще говоря, несколько неожиданным. Так, если исходные волны имеют одинаковую интенсивность то оказывается, что гармоники узкополосного случайного сигнала растут быстрее (а исходная волна случайного сигнала истощается сильнее), чем для детерминированного сигнала.

Объяснение этого результата состоит в том, что в случайном сигнале всегда найдутся большие по амплитуде выбросы, для которых нелинейность проявляется сильнее; нелинейные эффекты оказываются более чувствительными к выбросам гауссовского шума. Отметим, что в нелинейной оптике также имеет место подобный эффект [36]. Экспериментально при малых этот эффект подтверждается; эксперимент приводит к такому результату: , где — номер гармоники, что также следует из теории [37].

Задав форму линии начального сигнала при х=0, а также зная корреляционную функцию (например, для стационарного гауссовского процесса), можно далее решать различные задачи по случайным нелинейным волновым процессам — такие, как задача о «расплывании» спектральных линий (что удается сделать и для диссипативных нелинейных сред), о ширине спектральной линии гармоник шума, построить общую теорию нелинейной эволюции спектров случайных звуковых полей в отсутствие диссипации, рассмотреть вопрос о взаимодействии модулированных волн [38, 39].