Глава 2. ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ В ГАЗАХ И ЖИДКОСТЯХ. РЕЛАКСАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ

§ 1. Звуковые волны бесконечно малой амплитуды в идеальной среде

В этой главе мы рассмотрим распространение звуковых волн бесконечно малой амплитуды в газах и жидкостях. Звуковыми или акустическими волнами называются волны, существование которых обусловлено упругими силами, возникающими при деформировании среды. Бесконечно малыми принято называть возмущения, для которых с высокой степенью точности справедлив принцип суперпозиции. В классической акустике изучалось распространение именно таких возмущений. Согласно современной классификации эти вопросы составляют предмет линейной акустики. В приближении линейной акустики скорость распространения любого возмущения не зависит от величины этого возмущения.

Напомним основные соотношения линейной акустики покоящейся среды. Звуковая волна сжатия и разрежения характеризуется рядом изменяющихся во времени и пространстве параметров. Это — амплитуда избыточного, или звукового давления , где — давление в возмущенной среде, а — среднее или равновесное давление. Другой величиной, характеризующей звук, является колебательная скорость частиц жидкости или газа V. Отметим, что колебательная скорость в большинстве рассматриваемых в акустике задач значительно меньше скорости распространения возмущений с (скорости звука). Даже для очень сильного звука — шума реактивного самолета — в то время как скорость звука в воздухе Поэтому акустическое число Маха обычно много меньше единицы. Звуковая волна сопровождается также отклонением плотности от ее равновесного значения

В этом параграфе мы будем иметь дело с идеальной средой, для которой справедливы уравнения гидродинамики идеальной жидкости (1.1.1), (1.1.2) и (1.1.11). Подставляя выражения в эти уравнения и пренебрегая членами к и выше, получим

В акустике идеальных газов и жидкостей и поэтому можно ввести скалярный потенциал скорости Тогда первые два уравнения (1.1) запишутся в виде

откуда, принимая во внимание третье уравнение (1.1), найдем волновое уравнение для потенциала скоростей:

где по (1.1) Волновому уравнению вида (1.3) удовлетворяют также и другие акустические величины

Простейшим видом волнового движения является плоская волна: возмущение среды в этом случае одномерно, и волновое уравнение принимает вид

Его решение представляет собой две плоские волны произвольного вида, распространяющиеся в положительном и отрицательном направлениях:

Форма этих волн со временем не изменяется, т. е. волны являются стационарными. Из решения (1.5) следует, что константа с имеет смысл скорости распространения этих волн, т. е. скорости звука.

Для плоской монохроматической волны, распространяющейся в положительном направлении оси примем

где — волновое число, — длина волны. Из (1.2) получаем значение звукового давления:

где — амплитуда звукового давления.

Для колебательной (акустической) скорости получим

где — амплитуда колебательной скорости. Из (1.7) и (1.8) видим, что и v совпадают по фазе и что

Мы получили основное соотношение для плоской гармонической волны, связывающее между собой акустические величины с акустическим сопротивлением среды Можно показать, что соотношение (1.9) оказывается справедливым и для любой другой формы профиля волны бесконечно малой амплитуды, а не только для волны гармонической. Хотя в действительности нет идеальных плоских волн, формулой (1.9) приходится очень часто пользоваться для проведения оценок или приближенных расчетов.

Звуковое поле, создаваемое плоской гармонической волной, кроме параметров , можно характеризовать также колебательным смещением из положения равновесия Если считать, что то

    (1.10)

откуда следует, что отстает по фазе от v на Для ускорения имеем

т. е. ускорение опережает v по фазе на

Для энергетической характеристики звукового поля плоской волны вводят понятие интенсивности звука I (средняя плотность потока звуковой энергии), которая дается формулой

или, используя эффективные значения имеем

где чертой сверху обозначено среднее значение за период Т.

Приведем для справок одномерное волновое уравнение в лагранжевых координатах (см. § 1 гл. 1). Для баротропного движения и, учитывая, что получим

Из (1.9) следует

или

Это уравнение отличается от волнового уравнения в эйлеровых координатах тем, что вместо с здесь присутствуют локальная скорость звука и сжатие . В случае, если среда подчиняется уравнению Пуассона, формула (1.14) преобразуется к виду