§ 5. Приближенные решения уравнений вязкой жидкости при больших и малых числах Рейнольдса. Пограничный слой

Перейдем теперь к приближенным методам решения уравнений движения вязкой жидкости. Решение упрощается в двух предельных случаях. Первый соответствует задачам, когда велика вязкость среды, малы скорости движения и масштабы движения, т. е. малы числа Рейнольдса . В этих случаях члены, характеризующие вязкость в уравнениях движения, гораздо больше инерционных членов, и последние могут быть отброшены. Тогда уравнение Навье — Стокса переходит в линейное уравнение, которое без учета объемной, или второй вязкости примет вид

К числу известных задач, которые решаются в таком приближении, относится задача о плоском течении очень вязкой жидкости между двумя пластинками, о медленном движении малой сферы (задача Стокса) [1—2]. Решение, соответствующее последней задаче, приводит к известной формуле Стокса для силы сопротивления, которую испытывает сфера в вязкой жидкости:

где а — радиус сферы. Если учесть в уравнении Навье — Стокса те инерционные члены, которые имеют наибольшее значение, то эта формула приобретает вид

Член носит название поправки Осеена.

Другой предельный случай соответствует движениям с большими скоростями в задачах, когда мала вязкость и велики пространственные масштабы, т. е. велико число Рейнольдса.

Однако полностью отбрасывать в уравнениях движения члены, учитывающие вязкость, нельзя, так как решения получающихся

при этом уравнений Эйлера не удовлетворяют граничным условиям» согласно которым реальная жидкость должна прилипать к стенкам, даже если она характеризуется большими числами Рейнольдса. Выход из такого положения был найден Л. Прандтлем (1904), который предположил, что при больших числах основное действие вязкости должно проявляться только вблизи самих стенок, в так называемом пограничном слое. Вне этого пограничного слоя движение жидкости можно считать движением идеальной жидкости.

Рис. 1.3. Пограничный слой при обтекании пластинки потоком со скоростью V.

В дальнейшем теория пограничного слоя быстро развивалась и превратилась в широкую ветвь аэрогидромеханики, имеющую большие практические применения. Эта теория была затем распространена на случай сжимаемой жидкости и для больших чисел Рейнольдса, когда движение в слое становится турбулентным. Теория пограничного слоя важна для задач приема слабых акустических сигналов приемниками звука, установленными на движущихся или обтекаемых потоком поверхностях; пульсации давления при обтекании служат источниками существенных помех.

На рис. 1.3 дана условная схема обтекания тонкой пластинки потоком несжимаемой жидкости, направленным по оси при малых числах . Рассматривая порядки членов в уравнении Навье — Стокса (2.6), для плоской задачи при можно упростить эти уравнения. Так, из физических соображений следует считать, что скорость течения v с изменением у меняется быстро, а с изменением х — значительно медленнее. Можно считать далее, что если длина пластинки равна I и толщина пограничного слоя 6, то Используя эти обстоятельства, а также тот факт, что при т. е. что мало в слое, и принимая во внимание уравнение непрерывности для стационарного обтекания, когда членом можно пренебречь по сравнению с другими членами. Нелинейные инерционные члены вида имеют порядок а вязкие члены — порядок Такого рода оценки дают возможность сформулировать основные уравнения теории пограничного слоя, которые мы здесь не приводим.

Отношение сил вязкости к нелинейным силам инерции в пограничном слое, согласно проведенным оценкам, будет

Прандтль высказал гипотезу, которая далее получила подтверждение, что в пограничном слое силы инерции имеют тот же порядок величины, что и силы вязкости. Эта гипотеза сразу же позволила оценить порядок толщины пограничного слоя. Действительно, если

, то

Этой формулой часто приходится пользоваться для получения оценки величины .