§ 5. Другие типы поверхностных волн

Помимо рэлеевских волн, рассмотренных в § 4, известны и другие типы поверхностных волн в твердых телах [12, 31]. Коснемся наиболее важных из них. Прежде всего следует назвать поверхностные волны в кристаллах [32, 33]. В настоящее время строго доказано существование поверхностных волн в большинстве направлений любых срезов кристаллов [34, 35]. Анизотропия упругих свойств последних в общем случае приводит к тому, что плоская поверхностная волна имеет три компоненты смещения, а ее волновой вектор не совпадает по направлению с вектором групповой скорости. Лишь для симметричных направлений кристалла векторы групповых и фазовых скоростей коллинеарны, а траектории частиц лежат в сагиттальной плоскости. Такие поверхностные волны, весьма схожие с рэлеевскими волнами в изотропном твердом теле, обычно называют волнами рэлеевского типа [32]. Типичным примером является волна, распространяющаяся в направлении среза пьезоэлектрического кристалла ниобата лития. Заметим, что в пьезоэлектрических кристаллах поверхностная волна обычно сопровождается квазистатическим электрическим полем, что находит применение в различных акустоэлектронных устройствах обработки сигналов. Влияние пьезоэффекта приводит в ряде кристаллов к существованию чисто сдвиговых поверхностных волн [36, 37], называемых волнами Гуляева — Блюштейна. Эти волны, в отличие от рэлеевских, слабо неоднородны. Распространяясь со скоростью они спадают с глубиной на расстоянии , где — коэффициент электромеханической связи, характеризующий

«силу» пьезоэффекта (обычно ). По этой причине волны Гуляева — Блюштейна менее подвержены влиянию несовершенств поверхности и представляют интерес для акустоэлектронных устройств, работающих в СВЧ-диапазоне [38, 39]. Волны аналогичного вида могут существовать и в непьезоэлектрических средах при наличии внешних полей — электрического (за счет наведенного пьезоэффекта [40, 41]) и магнитного (действие силы Лоренца на электроны в металлах [42]). При этом имеется возможность управления глубиной локализации волн с помощью изменения величины прикладываемых полей.

Рис. 8.3. Система «слой — полупространство».

К важной разновидности поверхностных волн относятся волны Лява [43, 44] в слоистой системе (рис. 8.3), состоящей из упругого полупространства и слоя, скорость поперечных волн в котором меньше их скорости в полупространстве . В такой системе могут существовать чисто сдвиговые поверхностные волны, описываемые выражениями

где , а волновое число определяется из дисперсионного уравнения

При условии (замедляющий слой) это уравнение имеет действительные корни лежащие в пределах , т. е. фазовая скорость волн Лява больше скорости поперечных волн в слое, но меньше их скорости в полупространстве. Из (5.1) также следует, что волны Лява обладают дисперсией. Это понятно, так как рассматриваемая слоистая система характеризуется размерным параметром — толщиной слоя h. Строго говоря, волны Лява не являются истинно поверхностными волнами, поскольку их существование обусловлено слоистой средой. В этом смысле они похожи на волны в приповерхностном звуковом канале в океане [8], т. е. представляют собой один из видов нормальных волн в твердой слоистой среде. Различные корни дисперсионного уравнения (5.1) характеризуют соответствующие нормальные волны (моды). Число таких мод тем больше, чем больше величина . Иногда под волной Лява понимают просто низшую моду, которая существует при всех толщинах слоя, в том числе и при . Волны Лява, так же как и волны Рэлея, часто наблюдаются при землетрясениях, поскольку земная кора имеет слоистую структуру. В последнее время их стали использовать для создания дисперсионных линий задержки.

В системе «слой — полупространство» могут существовать и поверхностные волны, поляризованные в сагиттальной плоскости [45—47]. Такие волны называют обобщенными волнами Лэмба [47], так как в предельном случае т. е., в отсутствие полупространства, они переходят в известные нормальные волны Лэмба в пластинках [11, 12, 44, 47]. При дисперсионное уравнение для обобщенных волн Лэмба, как и в случае волн Лява, имеет конечное множество корней соответствующих различным распространяющимся модам. При достаточно малой толщине слоя существует только одна мода, которая превращается в волну Рэлея при . Следующая по порядку мода носит название волны Сезавы.

В отличие от волн Лява, низшая мода обобщенных волн Лэмба может существовать и в том случае, когда скорость поперечных волн в слое больше поперечной скорости звука в полупространстве.

Рис. 8.4. Слоистые волноводы поверхностных волн: а) волновод с замедляющим слоем, б) волновод с ускоряющим слоем.

Скорость обобщенных волн Лэмба в такой системе выше скорости волн Рэлея, распространяющихся вдоль поверхности однородной среды. Для этого случая характерно наличие верхней частоты отсечки [6], выше которой поверхностная волна излучает энергию в объем среды. Эта частота соответствует равенству скоростей обобщенной волны Лэмба и сдвиговой волны в полупространстве при нарушении которого, т. е. при имеет место «черенков-ское» излучение энергии в полупространство. В случае замедляющего слоя всегда и излучение отсутствует. Обобщенные волны Лэмба широко используются в акустоэлектронике для создания волноводов поверхностных волн, действующих по общему принципу открытых волноводов [29, 46]. При этом употребляются как замедляющие, так и ускоряющие слои (рис. 8.4).

Кроме волн, существующих на границе твердого тела с вакуумом, известны также поверхностные волны на границе двух сред. Строго говоря, такие волны правильнее было бы назвать граничными. К простейшей разновидности таких волн относятся волны вертикальной поляризации, распространяющиеся вдоль границы твердого тела с жидкостью, или волны Стоунли [81. Эти волны не обладают дисперсией и распространяются со скоростью, меньшей скорости звука в жидкости, спадая экспоненциально при удалении от общей границы. Отметим, что дисперсионное уравнение Стоунли имеет также комплексный корень, соответствующий отходящей от

границы волне в жидкости и экспоненциально неоднородной волне в твердой среде [8, 12, 311. При где плотность жидкости, эта система волн вырождается в рэлеевскую волну. Таким образом, контакт с жидкостью или газом приводит к затуханию поверхностной волны за счет «черенковского» излучения из твердой среды. Подобная поверхностная волна, а также рассмотренная выше обобщенная волна Лэмба в системе с ускоряющим слоем являются примерами так называемых волн утечки (leaky waves) [311, существующих также в ряде направлений кристаллов и на вогнутых цилиндрических поверхностях (§ 4). Возвращаясь к волнам типа Стоунли, отметим, что они могут существовать и на границе двух твердых сред, если плотности и упругие постоянные последних удовлетворяют определенным соотношениям [12, 31, 471. Из граничных волн с горизонтальной поляризацией можно упомянуть обобщения волн Гуляева — Блюштейна на случай двух пьезоэлектрических кристаллов, разделенных тонкой щелью (связанные волны Гуляева — Блюштейна, или щелевые волны [48, 491). Существование такого типа волнового движения обусловлено связью за счет взаимного проникновения квазистатических электрических полей в кристаллы.

Целый ряд типов поверхностных волн обусловлен чисто геометрическими факторами. В работах [50, 51] показано, что на выпуклых цилиндрических поверхностях твердых тел, креме волн рэлеевского типа, могут существовать и нерэлеевские поверхностные волны с поляризацией в сагиттальной плоскости. У этих волн продольная компонента ведет себя так же, как и смещения в рэлеевской волне, спадая с глубиной по экспоненциальному закону. Сдвиговая же часть аналогична волне типа «шепчущей галереи»; она убывает с глубиной, осциллируя. Такие волны получили наименование волн смешанного типа [21]. Их скорость несколько выше скорости сдвиговых волн и асимптотически приближается к ней с увеличением радиуса цилиндра. В выпуклых цилиндрах существуют чисто сдвиговые поверхностные волны, поляризованные параллельно поверхности [51]. Поскольку отражение горизонтально поляризованных сдвиговых волн аналогично отражению волн в жидкости, такие поверхностные волны, разумеется, ничем не отличаются от звуковых волн типа «шепчущей галереи», исследованных еще Рэлеем [52].

Похожая аналогия, но уже с электромагнитными волнами в металлической гребенке имеет место и для сдвиговых поверхностных волн [53, 54], распространяющихся вдоль периодически неровной границы твердого тела (рис. 8.5). Действительно, волновые уравнения и граничные условия в обоих случаях выглядят одинаково. Поэтому на основании известного решения для электромагнитных волн (см. [53, 54]) можно сразу сделать вывод, что в рассматриваемой системе может распространяться поверхностная волна, фазовая скорость которой определяется выражением

справедливым при . Легко видеть, что при определенном выборе параметров а, I и h скорость поверхностной волны с может быть существенно меньше

Следует сказать о так называемых «линейных» волнах [55, 56], распространяющихся вдоль ребер упругих клиньев (рис. 8.6). Эти волны представляют новый класс волновых движений сплошной среды, сосредоточенных вблизи границ поверхностей. Упоминание о них в данном параграфе кажется нам оправданным по той причине, что, во-первых, эти волны весьма схожи с поверхностными, и, во-вторых, они еще недостаточно изучены, чтобы составить предмет самостоятельного обсуждения. Анализ этих волн весьма сложен и производится главным образом численными методами.

Рис. 8.5. Гребенчатая структура на поверхности твердого тела.

Рис. 8.6. Антисимметричные колебания ребра клина.

Расчеты показывают, что произвольное поле вблизи ребра клина, как и во всяком волноводе, представимо в виде суммы мод, распространяющихся вдоль ребра со своими фазовыми скоростями. Наиболее важными с практической точки зрения представляются низшие антисимметричные моды клина (рис. 8.6). Их амплитуды быстро спадают при удалении от ребра, так что практически вся энергия волны оказывается сосредоточенной вблизи линии острия. Именно по этой причине волны подобного типа принято называть линейными или клиновыми. Эти волны бездисперсионны, так как клин характеризуется только углом раскрыва а не линейными размерами. Скорость клиновых волн уменьшается с уменьшением и может оказаться на порядок ниже при Физически это понятно, поскольку антисимметричные волны в остром клине схожи с антисимметричными колебаниями тонкой пластинки. Последние же, называемые также низшими антисимметричными модами Лэмба или просто изгибными волнами (подробнее см. § 6), как известно, отличаются низкой фазовой скоростью, стремящейся к нулю при уменьшении толщины пластинки [1].

Наконец, нужно упомянуть о поверхностных волнах, существование которых обусловлено механизмами нелокальности поля, связанными с микроструктурой среды [57]. В рамках классической механики сплошных сред эти волны не могут быть получены. Так, например, влияние дискретности кристаллической решетки приводит

к существованию в центросимметричных кристаллах слабо неоднородных чисто сдвиговых поверхностных волн [58] или к модификации других типов волн, в частности волн Гуляева — Блюштейна (см. [59]). Использование нелокальных моделей сплошных сред позволяет предсказать существование сильно неоднородных поверхностных волн, спадающих по амплитуде на глубине порядка межатомного расстояния в решетке [57]. Существование слабо неоднородных сдвиговых поверхностных волн может быть обусловлено также наличием адсорбированных атомов [60].

Рассмотренные типы поверхностных волн в твердых телах, разумеется, далеко не исчерпывают всё многообразие встречающихся в природе ситуаций. Особенно это относится к волнам в слоистых системах. Применительно к ним описанные слои с резкими границами должны рассматриваться как простейшие модели. То же самое можно сказать и о большинстве других механизмов, приводящих к существованию поверхностных акустических волн.