9. АЛЬТЕРНИРОВАННОСТЬ

Внешнее произведение изменяет знак при перестановке двух сомножителей (свойство альтернированности).

Теорема верна при Допустим, что она верна для всех внешних произведений с сомножителями. Полагаем Если переставить два вектора, входящие в то меняет знак. Если поменять местами а и то легко заметить, что

т. е. окончательно можно записать

Повторяя это рассуждение, можно переставить а на любое место.

Следствие

1°. Если векторов линейно зависимы, их внешнее произведение равно нулю.

В самом деле, так как один из векторов является линейной комбинацией остальных, представляет собой сумму внешних произведений, каждое из которых содержит два одинаковых вектора и потому равно нулю.

2°. В частности, если .

3°. Наоборот, из условия вытекает, что сомножители линейно зависимы.

Это утверждение верно для . Предположим, что оно справедливо для всех внешних произведений Тогда, если векторы, образующие произведение линейно зависимы, то линейно зависим и набор векторов, из которого получается и в этом случае доказательство закончено. Наконец, когда векторы образующие линейно независимы, можно разложить по базису, составленному из этих векторов и из базиса дополнительного подпространства 5, состоящего из векторов, сопряженных с так что

где а принадлежит подпространству, натянутому на

Поскольку то из последнего условия с учетом соотношений (4) и (5) и того, что выводим равенство так как сейчас Следовательно, векторы входящие в линейно зависимы, что и утверждается

4°. В тех случаях, когда , это произведение по определению представляет собой объем параллелепипеда, построенного на векторах входящих в У этого объема будет, следовательно, компонент. При объем имеет только одну составляющую, и в приложениях, рассматриваемых в следующих главах, она будет совпадать с элементом

5°. Для векторов канонического базиса равенство

вытекает прямо из определений.