Главная > Векторная алгебра
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

9. АЛЬТЕРНИРОВАННОСТЬ

Внешнее произведение изменяет знак при перестановке двух сомножителей (свойство альтернированности).

Теорема верна при Допустим, что она верна для всех внешних произведений с сомножителями. Полагаем Если переставить два вектора, входящие в то меняет знак. Если поменять местами а и то легко заметить, что

т. е. окончательно можно записать

Повторяя это рассуждение, можно переставить а на любое место.

Следствие

1°. Если векторов линейно зависимы, их внешнее произведение равно нулю.

В самом деле, так как один из векторов является линейной комбинацией остальных, представляет собой сумму внешних произведений, каждое из которых содержит два одинаковых вектора и потому равно нулю.

2°. В частности, если .

3°. Наоборот, из условия вытекает, что сомножители линейно зависимы.

Это утверждение верно для . Предположим, что оно справедливо для всех внешних произведений Тогда, если векторы, образующие произведение линейно зависимы, то линейно зависим и набор векторов, из которого получается и в этом случае доказательство закончено. Наконец, когда векторы образующие линейно независимы, можно разложить по базису, составленному из этих векторов и из базиса дополнительного подпространства 5, состоящего из векторов, сопряженных с так что

где а принадлежит подпространству, натянутому на

Поскольку то из последнего условия с учетом соотношений (4) и (5) и того, что выводим равенство так как сейчас Следовательно, векторы входящие в линейно зависимы, что и утверждается

4°. В тех случаях, когда , это произведение по определению представляет собой объем параллелепипеда, построенного на векторах входящих в У этого объема будет, следовательно, компонент. При объем имеет только одну составляющую, и в приложениях, рассматриваемых в следующих главах, она будет совпадать с элементом

5°. Для векторов канонического базиса равенство

вытекает прямо из определений.

1
Оглавление
email@scask.ru