8. ИНТЕРПРЕТАЦИЯ b

Естественно попытаться вывести на основе уравнения Дирака такое уравнение, в котором фигурировала бы сила Лоренца, действующая на электрон во внешнем поле потенциала А. С этой целью возьмем градиент от обеих частей уравнения (43), причем вычисления проведем в формализме векторной алгебры, пользуясь методом неподвижного собственного репера. Провести подобные вычисления, употребляя матричную технику, было бы крайне сложно и вряд ли даже удалось бы получить окончательный результат.

Итак, будем оперировать с уравнением (56), которое перепишем,

тем, умножив справа на Получим

Обозначим правую часть полагая

Возьмем градиенты от обеих частей равенства и умножим их на Далее перейдем к пределу, устремляя точку, в которой рассматриваются все эти величины, к О; получим

При вычислении заметим, что вследствие ассоциативности умножения в алгебре Клиффорда можно записать

где - скалярный оператор. Таким образом,

и в результате имеем

Теперь переходим к вычислениям в правой части равенства:

Взятое в точке О, это выражение упрощается и имеет вид

Отметим, что в фигурных скобках здесь стоит четное -число. Первое слагаемое в правой части последнего равенства записывается в виде

так что после умножения его справа на получаем

Заменяя здесь с помощью формулы придем к выражению

которое после упрощений перепишется в виде

Преобразуем последний член:

Следовательно, получаем

Нам остается только вычислить

В точке О последнее выражение сильно упрощается:

Для вектор-потенциала, как известно,

следовательно, — бивектор.

Теперь мы знаем все члены выражения (65), однако ограничимся рассмотрением его бивекторной части. Удерживая только бивекторные составляющие всех членов, получаем соотношение

здесь индекс В обозначает бивекторную часть выражения в квадратных скобках. Выражение для силы Лоренца в точке О записывается в соответствии с уравнением (33):

Приравняем внутренние произведения обеих частей (66) на вектор замечая, что

получим (с учетом найденного ранее выражения для ускорения)

Обратим внимание, что в это уравнение в качестве собственной

массы явно входит не , а величина В правой части наряду со слагаемым дающим выражение для силы Лоренца, фигурирует произведение этой собственной массы на ускорение. Но ведь основное уравнение релятивистской динамики частицы, записанное в собственной системе отсчета, не отличается от уравнения механики Ньютона, поскольку в этой системе трехмерная скорость частицы равна нулю. Следовательно, для электрона с собственной массой подчиняющегося релятивистской динамике Лоренца, второй член должен быть нулем, т. е.

Поток собственной массы должен сохраняться в соответствии с требованиями релятивистской инвариантности, так что его дивергенция равна нулю, а это в силу соотношения приводит к условию Заменяя правую часть нашего уравнения нулем, получаем такое условие:

и можно сказать, что эта величина служит «мерой отклонения» электродинамики Лоренца от квантовой электродинамики.

Вводя таким образом собственную массу можно дать интерпретацию угла Такабаяси . Действительно, непотенциальная энергия может изменяться в пределах от (р = 0) до — , и, следовательно, Р служит мерой смешивания волн, у которых непотенциальная энергия положительна и отрицательна. Такие волны с отрицательными энергиями связаны с виртуальными, ненаблюдаемыми, состояниями, однако они совершенно необходимы с точки зрения теории и позволяют объяснить прохождение электрона сквозь потенциальный барьер (туннельный эффект); такое преодоление барьера в классической механике невозможно, если непотенциальная энергия отрицательна (парадокс Клейна). Равным образом интересно сопоставить этим волнам с отрицательной энергией состояния античастицы. Из общих соображений инвариантности относительно обращения времени приходится интегрировать такие волны с отрицательной энергией не только по положительным

объемам, как это делалось при изучении двух предыдущих эффектов, но и по отрицательным объемам. При таком интегрировании изменятся знаки интегралов по пространству, в частности знаки заряда и собственной массы, которые будут обозначены и сопоставлены не частице, а античастице. Так может быть получена интерпретация состояний, обладающих отрицательной непотенциальной энергией.

Отметим еще, что если является решением уравнения (43), то удовлетворяет уравнению

и, следовательно, также удовлетворяет (43). Таким образом, каждому решению уравнения Дирака для частицы с собственной массой (реальный, или наблюдаемый, электрон) сопоставляется решение с собственной массой — (электрон виртуальный, или недоступный прямым наблюдениям). При этом общее решение (43) является смесью волн с непотенциальной энергией противоположных знаков, если интегрирование в пространстве проводится по положительным объемам. При интегрировании по отрицательным объемам осуществляется переход к позитрону с зарядом и массой , а уравнение Дирака, таким образом, одинаково пригодно для частиц с зарядом , и это обеспечивает инвариантность уравнения при обращении времени.